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1、1,曲线和曲面上的积分,曲面积分 1.曲面上的测度,2,曲面积分,曲面表示和曲面上的测度 第一型曲面积分(质量) 第二型曲面积分(流量),3,曲面的映射观点定义,设a,bRk,: a,b Rn (nk+1) 若连续,称S=(a,b)为 Rn中的连续超曲面 若具有一阶连续导数, 且ta,b,(t)满秩, 称S= (a,b)为 Rn中的k维光滑超曲面; 若是单射, S= (a,b)为 Rn中的k维正则超曲面 若连续,且存在a,b可以分成m个内部不相交的闭区域Wj, Lj=(Wj)是k维光滑(正则)超曲面,称S=(a,b)为 Rn中的k维分片光滑(正则)超曲面,4,曲面的集合观点定义,设SRn, 若
2、存在: a,b Rk Rn, 有S= (a,b) 若连续, 就称S为Rn中的一个连续超曲面, 称为S的一个表示 若光滑且导数点点不为零, 就称S为Rn中的k维光滑超曲面, 称为S的光滑表示 若光滑,单射且导数点点不为零, 就称S为 Rn中的一条正则曲面, 称为S的正则表示,5,同一超曲面可以有不同的表示,同一超曲面可以有不同表示： 集合观点下的正则超曲面一定有非正则的表示; 几何上正则的超曲面未必有正则表示; 几何上非正则的超曲面一定没有正则表示 在下面的讨论中, 我们总假设 连续, S是正则或分片正则超曲面,是其相应的表示 因此将对超曲面的两种观点统一,6,超曲面的分类,设: a,b Rn
3、(n2), 连续 若是单射,称L=(a,b)为Rn中的简单曲面 Rn中的闭超曲面：？ Rn中的简单闭超曲面：不带边的紧流形,7,超曲面的方向(定向),可定向曲面(双侧曲面) 不可定向曲面(单侧曲面),8,正则超曲面面积的定义,设a,bRk, :a,b Rn(nk+1), 正则,S=(a,b), 定义S的k维面积 为 其中上标T表示矩阵的转置,9,对超曲面面积公式的说明,面积公式的推导 Rn中k维平行2k面体的体积计算 用切超平面块近似超曲面面积 n-1维超曲面的面积公式 由参数方程给出的曲面体积公式 由函数图像给出的曲面体积公式,10,Rn中k维平行2k面体的体积,设E是由Rn中k个线性无关向
4、量V1,V2,Vk所张成的平行2k面体, 由Schmidt正交化方法得到与其等体积的直角平行2k面体E0, 张成E0的k个向量是a1,a2,.,ak两组向量间的关系,11,平行2k面体的体积(续1),体积公式: |E|=|E0|=|a1|a2|ak|也就是 也就是,12,平行2k面体的体积(续2),由此就得到 其中 注意Vj都是列向量.,13,平行2k面体体积公式解释,Binet-Cauchy公式: 设A=(aij)nk, B=(bij)nk, 则 对这个公式的解释: Rn中的平行2k面体的体积的平方等于其在 Rn中所有k维坐标面中投影的平方和(一般勾股定理),14,用切超平面块近似超曲面面积
5、,设a,bRk,: a,b Rn (nk+1),正则, S= (a,b). 下面按微元法给出超曲面的面积公式: 任取a,b的一个分法W: W1,Wm. Sj=(Wj), j= 1, ,m. 取tjWj, 用 近似Sj的体积, 然后求和-取极限就得到公式.,15,n-1维超曲面的面积公式(1),由参数方程给出的曲面体积公式: 设a,bRn-1, : a,b Rn (nk+1) , 正则, S=(a,b). 此时, 习惯上有下面的记法 其中e表示第i个元素标准基向量ei的列向量,16,n-1维超曲面的面积公式(2),由函数图像给出的曲面体积公式: 函数图像公式a,bRn-1, g: a,b R, (t)=(t, g(t), S=(a,b),17,正则超曲面上的测度,设a,bRk,: a,b Rn (nk+1),正则, S= (a,b). ES, 如果-1(E)是a,b的可测集, 就说E是S的可测集,其测度定义为,