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曲面的切平面与法向量,一、隐式方程的情形,二、显式方程的情形,*三、参数方程的情形,第六节（2）,第九章,一、隐式方程的情形,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0 .,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面., 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在 上,得,令,由于曲线 的任意性 ,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上 ,从而切平面存在 .,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,例1. 求球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,二、显式方程的情形,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,几何意义,切平面和法线方程.,解1,令,则,切平面方程：,法线方程：,例3.,例3,解2,小结： 曲面的切平面与法线（向量都在点M 上取值）,F( x, y, z ) = 0,法向量,法向量,1) 隐式情况 .,2) 显式情况.,