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1、第三篇 动力学,第十章 质点动力学的基本方程 第十一章 动量定理 第十二章 动量矩定理 第十三章 动能定理 第十四章 达朗伯原理 第十五章 虚位移原理,第十五章 虚位移原理,3,在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。,在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。,4,151 约束 虚位移 虚功 152 虚位移原理,第十五
2、章 虚位移原理,5,一、约束 限制非自由质点（或质点系）运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。,例如：,平面单摆,曲柄连杆机构,15-1 约束 虚位移 虚功,6,根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：,1、几何约束和运动约束,约束的分类,2、定常约束和非定常约束,3、完整约束和非完整约束,7,1、几何约束和运动约束,限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。,当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。,例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。,
3、几何约束： 运动约束：,8,约束条件不随时间改变的约束为稳定约束（定常约束）。 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。,2、定常约束和非定常约束,例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。,x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t,9,如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表
4、达。,3、完整约束和非完整约束,如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。,10,例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。,几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。,11,某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移，称为虚位移（可能位移）。,虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。,M,二、虚位移,12,虚位移与真正运动时发生的实位移区别：
5、,在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。,实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。,实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。,实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。,13,质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这些关系通常有两种方法几何法和解析法。,(一) 几何法,因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。,由运动学知，质点的位移与速度成正比，即,14,分析图示机构在图示位
6、置时，点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l ),例1,15,解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。,几何法,16,(二) 解析法。,质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（ q1,q2,qk），广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为,17,将C点的坐标表示成 广义坐标 的函数，得,用解析法解例1,对广义坐标 求变分，C点虚位移在相应坐标轴上的投影：,同理，可以写出A、B点的虚位移在相应坐标轴上的投影：,18,力 在质点发生的虚位移 上所作的功称为虚功，记为 。,三、虚功,解析式：,19,质点系受有理想约束的条件：,四、理
7、想约束,如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束反力 的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。,20,理想约束的典型例子如下：,1、光滑支承面,2、光滑铰链,4、不可伸长的柔索,3、无重刚杆,5、固定端,21,具有定常、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即,解析式：,15-2 虚位移原理,（空间问题）,（平面问题）,22,图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力FA和FB之间的关系。,解：研究整个机构。系统的所有约束都是理想约束。,例15-3（P347）,FA,FB,23
8、,1、几何法：使A发生虚位移 ，B的虚位移 ，,则由虚位移原理，得虚功方程：,24,2、解析法,解得：,例,该机构在图示位置平衡，求F1和 F2的关系。,解：几何法，给出虚位移,建立F1和F2的虚功方程：,例15-2 （P346）,AC=CE=BC=CD=DG=GE=l，作用力F，求支座B的水平约束反力。,解：解除B支座的水平约束，用支座反力FBx代之。,x,应用解析法，,(a),代入（a）得：,另：如在G、C之间加一弹簧，弹簧刚度为k，在图示位置弹簧伸长量为 0，求支座B的水平约束反力。,解：解除B支座的水平约束，用支座反力FBx代之，去掉弹簧，用拉力代之。,应用解析法，,代入虚功方程得：,
9、例,椭圆规机构，OD=AD=BD= l，在图示位置平衡，求F和M的关系。,解：建立F和M的虚功方程。,几何法。,29,多跨静定梁，求支座B处反力。,解：将支座B 除去，代入相应的约束反力 。,例3,M,M,给出虚位移,30,建立虚功方程：,例,A,C,D,B,F,45,平面桁架，已知AB=BC=CA=a，AD=DC=,用虚位移原理求BD杆的内力。,45,A,C,D,B,F,解：几何法，给出虚位移，,建立虚功方程：,FBD,FBD,平面桁架，,用虚位移原理求1杆和2杆的内力。,例,F1,2,F,a,a,a,a,平面桁架，,用虚位移原理求1杆和2杆的内力。,例,F1,A,B,rB,1,2,F,a,
10、a,a,a,平面桁架，,用虚位移原理求1杆和2杆的内力。,例,F2,F2,C,B,例,AB和AO为均质杆，重量分别为Q和P，不计各处的摩擦和滑块的重量，用虚位移原理求维持系统平衡的力F的大小。,rB,rB,37,滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置平衡时，加在AB杆上的力偶矩M ？,解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故可以用虚位移原理求解。,题15-7 （P354）,38,选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。,由虚位移原理，得
11、：,39,解：这是一个具有两个自由度的系统，取角及为广义坐标，现用两种方法求解。,均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及 。,y, 例4,40,应用虚位移原理，,代入(a)式，得：,解法一：解析法,41,由于 是彼此独立的，所以：,由此解得：,42,而,代入上式，得,解法二：,先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一组虚位移，如图所示。,43,再使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的另一组虚位移，如图所示。,而,代入上式后，得：,图示中：,44,以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。 若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。,1、正确选取研究对象：,应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：,45,2、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。 3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。 4、应用虚位移原理建立方程。 5、解虚功方程求出未知数。,46,