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1、1,拼凑与划分,例话递推数列参数的探猜,万尔遐老师讲数学,2,二阶递推 先看问题,题目 已知数列an中,a1 = 1,a2=3,且an+1=an+2an 1(n2).,(1)设bn=an+1+an,是否存在实数,使数列bn为等比数列. 若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;,分析 对于问题(1),文字虽长,但递推式系数很简单,1和2罢了!,本题所存在实数,猜验可得!,3,数据简单 直接拼凑,设bn=an+1+an为等比数列,的值,心算可出:,这里=1,公比为2.,故存在实数=2或1,使数列bn为等比数列.,an+1=an+2an 1 an+1+ an =2an+2an 1 = 2(an+2a
2、n 1),,或an+1=an+2an 1 an+1 2an = an 2an+2an 1,= (an 2an 1),这里= 2,公比为1.,在一般情况下,求的值采用“待定对比法”.,4,一般情况 待定系数,解(1)设有常数、存在,使得数列an+1 +an是公比为的等比数列,即,答案 存在实数= 2或1,使数列bn为等比数列.,与递推式 比较:,5,等比数列 先看三项,分析 bn为等比数列的必要条件是b1、b2、b3为等比数列.,由a1=1,a2=3,且an+1=an+2an 1(n2)可得:,a1= 1,a2= 3,a3= 5,a4=11.,又 bn=an+1+an,,故有 b1=3+,b2=
3、5+3,b3=11+5.,说明 等比数列,至少3项!,6,先猜后证 推到一般,解析 设b1,b2,b3 成等比数列,则是,解得= 2或1.,经检验,2或1为所求.,说明 这里的“经检验”是个空话,实际上并没有去检验,因为我们坚信解答的结果是正确的. “经检验”三字的写出,使得前面的“必要条件”同时又成“充分条件”了.,7,不知通项 如何求和,解(2),8,划分奇偶 分段求和,故数列an的前n项和为:,9,若知通项 求和更便,分析 数列求和一般是用通项公式进行. 本题没有给出通项公式,却有相邻两项和的通式.,这是一种很有利的特殊情况,我们只要把项数进行奇偶划分之后,求和就不是一件难事了.,说明 本递推数列的通项公式是两个等比数列相加,具体办法见有关课件(二阶递推与等比数列).,