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1、1,拼凑与划分,例话递推数列参数的探猜,万尔遐老师讲数学,2,二阶递推 先看问题,题目 已知数列an中，a1 = 1，a2=3，且an+1=an+2an 1(n2).,（1）设bn=an+1+an，是否存在实数，使数列bn为等比数列. 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；,分析 对于问题（1），文字虽长，但递推式系数很简单，1和2罢了！,本题所存在实数，猜验可得！,3,数据简单 直接拼凑,设bn=an+1+an为等比数列，的值，心算可出：,这里=1，公比为2.,故存在实数=2或1，使数列bn为等比数列.,an+1=an+2an 1 an+1+ an =2an+2an 1 = 2(an+2a
2、n 1），,或an+1=an+2an 1 an+1 2an = an 2an+2an 1,= (an 2an 1），这里= 2，公比为1.,在一般情况下，求的值采用“待定对比法”.,4,一般情况 待定系数,解（1）设有常数、存在，使得数列an+1 +an是公比为的等比数列，即,答案 存在实数= 2或1，使数列bn为等比数列.,与递推式 比较:,5,等比数列 先看三项,分析 bn为等比数列的必要条件是b1、b2、b3为等比数列.,由a1=1，a2=3，且an+1=an+2an 1(n2)可得：,a1= 1，a2= 3，a3= 5，a4=11.,又 bn=an+1+an，,故有 b1=3+，b2=
3、5+3，b3=11+5.,说明 等比数列，至少3项！,6,先猜后证 推到一般,解析 设b1，b2，b3 成等比数列，则是,解得= 2或1.,经检验，2或1为所求.,说明 这里的“经检验”是个空话，实际上并没有去检验，因为我们坚信解答的结果是正确的. “经检验”三字的写出，使得前面的“必要条件”同时又成“充分条件”了.,7,不知通项 如何求和,解（2）,8,划分奇偶 分段求和,故数列an的前n项和为:,9,若知通项 求和更便,分析 数列求和一般是用通项公式进行. 本题没有给出通项公式，却有相邻两项和的通式.,这是一种很有利的特殊情况，我们只要把项数进行奇偶划分之后，求和就不是一件难事了.,说明 本递推数列的通项公式是两个等比数列相加，具体办法见有关课件（二阶递推与等比数列）.,