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1、理论力学 ( II ),第 三 章 分析力学基础,自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 虚位移原理的广义坐标描述便是: 对应于各广义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍方程. 动力学普遍方程的广义坐标表达可得到拉格朗日方程. 确切地说是第二类拉格朗日方程.它是完整约束下的质点系统的运动微分方程通式.,3 1 自由度与广义坐标,自由度: 独立的虚位移的个数. 广义坐标: 确定质点系空间位置的独立变量. : 在完整约束下, 自由度的个数与广义坐标的个数相等. 完整约束下, 若系统有n 个质点, s 个约束方程
2、, 则自由度N = 3n s,用直角坐标系下的投影表达为:,3. 广义力. 广义力的定义须用数学式表达. 这里要说的是: 广义力是质点系中一群力和力偶的组合.它是分析力学中的一个基本概念. 它与广义坐标直接相关, 不同的的广义坐标对应着不同的广义力.,称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力. ( k = 1、2、3N ),对于完整的理想约束下的力学系统, 质点系的虚功表达可作如下的演变:,上式中令,则,3 2 以广义坐标表示的质点系的平衡条件,Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力. ( k = 1、2、3N ),上式中令,所以,由于各广义坐标是互相独立的, 而虚位移是不能为零的. 因而
3、有:,即是: 如果质点系统平衡, 则各广义坐标对应的广义力分别为零.,例二. 平行四杆机构, 尺寸a、b、l 及力P、F 均为已知. 求: 平衡时 = ? = ?,解: 这是一个双自由度的力学系统. 选广义坐标、 . (、 分别为与水平线的夹角). 由本题的特点, 建立直角坐标系, 求出有关的虚位移. ( 不作功的虚位移不必求出).,由、 的独立性及 0 、0 必有:,注意前面这两行虚位移原理方程的展开式:,即是:,上式是两个自由度力学系统的虚位移原理用广义坐标的表达式. 如果一个有N个自由度的力学系统, 则虚位移原理的广义坐标的表达式为:,对比例题的结果, 不难理解这样一个结论: 对于完整理
4、想约束的力学系统, 其静止平衡的充要条件是: 对应于每一个广义坐标的广义力分别为零. 如果广义力不为零, 质点系必然运动. 描述其运动, 我们可用后面将要讲到的 拉格朗日方程.,解: 系统有两个自由度, 选广义坐标 x1 和x2 .,习题选解: 习 17 15 ( P275 ) 图示系统中, 重物P3 , 倾角 , 皆为已知. 不计摩 擦 , 忽略滑轮和绳子的质量. 求平衡时, 重物P1 和P2 的大小.,习 17 17 (P276) 杆系在铅垂面内平衡, AB = BC = l , CD = DE , 且AB, CE 为水 平, CB为铅垂. 均质杆CE 与刚度为 k1 的弹簧相连, 重为P
5、 的均质杆AB 的左端A 处装有一刚度为 k2 的螺旋弹簧. BC 杆上作用有线性分布载荷, 其最大的集度为q . BC 杆的重量不计. 求此时水平弹簧的变形量 和 螺旋弹簧的扭转角 .,解: 两个自由度. 选广义坐标 (螺旋弹簧的扭转角) 和 (线弹簧的伸长量),由广义坐标的虚位移原理:,对本题有:,由质点系的达朗伯原理:,由虚位移原理:,在理想约束下:,即是:,( 1 ) 式称为动力学普遍方程. 若用直角坐标分量来表达则为:,3 3 动力学普遍方程,( 2 ),例一: ( 书上 例18 2 ) 两个半径为r 的均质轮质量皆为m1 , 对轮心的转动惯量各 为J. 连杆的质量为m2 , 其两端
6、与两轮的轮心以铰链相连. 设圆轮在倾角为 的斜面上作纯滚动, 求轮心的加速度.,解: 设轮心的加速度为a . 系统的运动分析及达朗伯惯性力简化如图所示.,由动力学普遍方程:,例二 ( 书上例 18 3 ) 图中二均质圆柱轮质量皆为m , 半径皆为r . 轮I 绕O 轴转动, 轮II 上绕有细绳且细绳缠于轮I 上. 二轮在同一平面内运动. 若细绳的直线部分为铅垂时, 求轮II 的中心C 的加速度.,解: 运动分析及达朗伯惯性力简化如图.,根据动力学普遍定理, 则有:,代入上式中可得: ( 接后页),3 4 拉格朗日方程( 第二类),预备知识: 设一个完整约束的力学系统有n个质点( i = 1、2
7、、3n ) 每一个质点在空间的位置由N 个广义坐标和时间唯一确定. 即:,于是, 每一个质点的虚位移是:, 两个经典公式：,证明:,又:,对比可得:,根据上式, 下面有一个关系式在推证过程中要用到:,在 一章里, 有一个关系式也要用到. 下面便是讲义里的一段:,称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力. ( k = 1、2、3N ),对于完整的理想约束下的力学系统, 质点系的虚功表达可作如下的演变:,上式中令,则,推证过程如下:,由qk 的独立性, 则分别有:,这就是著名的第二类拉格朗日方程.它是完整约束下的质点系统或刚体系统的运动微分方程的通式. 系统有几个自由度, 就有几个独立的微分方程
8、式.,例一. 均质圆环的半径为R, 质量为m , 可在水平面上只滚不滑. 有一质点A固结 在轮缘上, 质量也是m . 初始平衡静止. 求: 受初干扰后系统的运动微分方程.,解: 受干扰后, 圆环在水平面上往复滚动. 一个自由度, 选 角为广义坐标.,例二. ( 习 18 6 ) 三个齿轮的质量分别为m1 、m2 、m3 ，相互啮合. 各轮可视为均 质圆盘, 其半径分别为r1 、r2 、r3 . 三个齿轮上分别作用力偶M1 、M2 、M3 , 其转向如图示. 求齿轮1的角加速度.,解: 系统为一个自由度选1轮的转角1 为广义坐标.,由定轴轮系的传动比可知:,解答后的提示: 此题求的是1轮的角加速
9、度, 似乎不是微分方程. 其实, 最简单的微分方程就是相关坐标对时间的二阶导数与力、力偶的关系. ( 力、力偶或为常量或为相关坐标及时间的函数) . 可以证明: 如果一个系统的动能表达式仅为广义速度的齐次函数, 则可通过拉 格朗日方程求 得各个物体的加速度.,例三. 求图示力学系统的运动微分方程. ( 参见P162 例 17 6 ),解: 这是两个自由度系统, 选广义坐标和求广义力的工作已在上一章完成.,: 势力场下的拉格朗日方程 在势力场下, 势能是广义坐标的函数 .,例四. ( 习 18 4 ) 解: 一个自由度 , 选广义坐标 .,选A处水平面为势能零点.,例五. 图示均质圆盘质量为m,
10、 半径为r ; 均质杆质量亦为m , 长l . 设圆盘在水平面 上纯滚动. 求: 系统的运动微分方程.,解: 系统有两个自由度, 选广义坐标 x、 .,选A处水平面为重力势能零点,例六. ( 习18 17 ) 解: 这是一个双自由度的自由振动系统. 以各自静平衡的位置建立广义坐标x1 和x2 .,选静平衡的位置为重力和弹力势能零点,习 18 10 均质杆AB 长为l , 质量为m , 借助于其A 端的辊子沿斜面滑下, 斜面的 倾角为 角. 不计辊子的质量和摩擦, 求杆的运动微分方程. 又, 设杆AB 当 = 0 时由静止开始运动, 求开始运动时斜面所受到的压力.,解: 两个自由度, 选广义坐标
11、x 和 ,整理后可得:,如果计算系统的势能, 则选系统开始运动时过A 点的水平面为重力的零势面.,B,可得上面所求的结果.,若系统在静止开始运动瞬时 = 0. 即是 当t = 0 时 = 0. 且,变成,由 ( 1 ) ( 2 ) 联立可得:,为求A 处的约束反力, 分析质心C 的加速度如图示:,则系统的运动方程,例七. 综 21 ( P190 ) 解: 双自由度, 选广义坐标 x1 、sr .,选初始时圆柱的C 点处为重力势能零点,例八. ( 习 18 21 ) 解: 选广义坐标,(设滑轮O 的半径为R).,习 18 13 质量为 m 的质点在一半径为 r 的圆环内运动, 圆环对AB 轴的转
12、动惯量为 J . 欲使此环在矩为M 的力偶的作用下以等角速度 绕铅直轴 AB 转动. 求 力偶矩M 和质点m 的运动微分方程.,解: 双自由度, 选广义坐标 和 .,补充习题: 已知均质圆盘 质量为M , 半径为r , 在水平面上作纯滚动. 小球B 质量 为m , 以细绳系与圆盘的中心C 相连, 绳子的长度为l . 圆盘中心连一水平 弹簧, 其弹簧常数为 k. 试写出系统的运动微分方程.,解: 系统有两个自由度, 取广义坐标x 和 . ( x 坐标的原点宜取在系统静平衡时与 圆盘中心重合的位置),取过圆盘中心的水平位置为系统的重力势能零点; 弹簧原长时的A 点处为弹力势能零点.,则 系统的势能表示为:,