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第四节 平面及其方程,一、图形与方程 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角,那么，上述方程（或方程组）叫曲面S（或曲线L)的方程，而曲面S（或曲线L)叫做上述方程（或方程组）的图形.,一、图形与方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,二、平面的点法式方程,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,所求平面的一个法向量为,即,由点法式方程，得,解,解,所求平面方程为,化简得,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,三、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,解,将已知两点代入得,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,四、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例5,解法（1）,所求平面的法向量与,解,点到平面距离公式,