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1、第四节 长波近似,本节主要内容:,3.4.1 长声学波,3.4.2 离子晶体的长光学波,3.4 长波近似,3.4.1 长声学波,下面以一维双原子链为例讨论。,1.对于声学支格波,2.对于连续介质,考虑介质中x与(x+dx)间长度为dx的一段，设一维介质的线密度为，则这段介质的运动方程为：,改用偏微商的符号，则有：,上式是标准的波动方程，其解为：,代入得：,由此得弹性波的传播相速度：,在简单情况下上式中c相当于杨式模量。,恢复力,将上式用于一维复式格子，应变是,其中um+1和um分别是第m+1个及第m个原子的位移，a为第m+1个及第m个原子平衡时的间距。,又:,对一维复式格子，显然密度为：,可推
2、知：,由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相等，即长声学波与弹性波完全一样。,长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。,3.4.2 离子晶体的长光学波,长光学波，在半波长范围内，正负离子各向相反的方向运动，电荷不再均匀分布，出现以波长为周期的正负电荷集中的区域。由于波长很大，使晶体呈现出宏观上的极化，因此长光学波又称为极化波。,由两种不同离子组成的一维复式格子。,1.黄昆方程,离子晶体的极化,离子位移极化,电子位移极化,对于长光学波，在相当大的范围内，同种原子的位移相同，所以离子位移极化强度为：,对于立方晶格，洛伦兹提出了求解有效电场的方法，由理论分析得到：,e*为离子的
3、有效电荷量,一个原胞内正负离子受到有效电场的作用，产生的电子位移极化强度为：,其中为原胞的体积，+ ，- 分别为正负离子的电位移极化率，,则总的极化强度为：,将 代入，得：, = + + -,作用在离子上的除了准弹性恢复力以外，还要考虑到有效电场的作用。,则正负离子的运动方程为：,再看离子运动方程，我们对一维复式格子的方程,由上式 得:,引进位移参量,则有,-黄昆方程,(1)式代表振动方程，右边第一项 为准弹性恢复力，第二项表示电场 附加了恢复力。,(2)式代表极化方程， 表示离子位移引起的极化，第二项表示电场 附加了极化。,晶体内无自由电荷，得,将电场分成有旋场和无旋场两部分，,2.LST关
4、系(LyddaneSachsTeller关系),将黄昆方程 代入得,上式的成立条件是：,由黄昆方程得：,将上式中的有旋场与无旋场分开得到：,上面两方框中式子均为简谐方程，由此得振动频率,为了将系数b11，b21(=b12)和晶体的介电系数联系起来，再考虑两种极端情况：,式中s是离子晶体的相对介电常数。,对于光频振动，离子的惯性已跟不上如此高频的振动，其位移W=0由黄昆方程(2)式得：,式中是离子晶体的光频介电常量。,又,-著名的LST关系,光频介电常量,静电介电常量,有些晶体在某种温度下，,恢复力消失，发生位移的离子回不到原来平衡位置，即晶体结构发生了改变。在这一新结构中，正负离子存在固定的位移偶极矩，产生了所谓的自发极化。,(2)铁电软模(光学软模),相当于弹簧振子系统中的弹簧丧失了弹性，即弹簧变软。称 的振动模式为铁电软模(或光学软模)。,3.极化声子和电磁声子,因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。,长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波声子为电磁声子。,