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1、粒子滤波器基本原理,主要内容,1 动态系统模型及状态估计问题 2 递推Bayesian滤波器 3 粒子滤波器 4 小结,1 动态系统模型(1),动态系统(Dynamic System)通过两个方程建模： 状态转移方程(state transition equation) 测量方程(measurement equation),1 动态系统(状态转移方程),状态转移方程：,其中： fk: 转移函数（可能是非线性的） xk, xk-1: 当前和前一时刻状态 uk-1: 已知的输入 vk-1: 状态噪声(可能是非Gaussian),1 动态系统(测量方程),测量方程：,其中： hk: 测量函数（可能是
2、非线性的） xk: 当前时刻状态 uk: 已知的输入 nk: 测量噪声(可能是非Gaussian),1 状态估计问题,xk: 未知的，待估计的系统状态 z1：k: 已知系统测量(z1：k =zj, j=1,k ) 状态估计问题： 根据已知的测量z1：k估计未知的状态xk 实质：计算后验概率密度函数(pdf) p(xk|z1:k),2 递推Bayesian滤波器,递推地构造后验概率密度函数(pdf) p(xk|z1:k): 已知p(xk-1|z1:k-1)和zk，求p(xk|z1:k),假设：初始分布p(x0)是已知的（ p(x0)是对系统初始状态知识的刻画）。 p(xk|z1:k)可以通过以下
3、两个步骤递推地获得： 预测(prediction) 校正(update),2 递推Bayesian滤波器(预测),预测(prediction)： 设k-1时刻的概率密度函数p(xk-1|z1:k-1)是已知的。预测阶段包括通过Chapman-Kolmogorov等式使用状态转移方程来获得k时刻状态的先验概率密度函数：,(1),2 递推Bayesian滤波器(校正),校正(update)： 在k时刻，当测量有效时，通过Bayes规则进行校正,其中，规格化常量：,似然度,先验概率,(2),2 递推Bayesian滤波器(推导),2 递推Bayesian滤波器(估计),估计：,(3),2 Bayes
4、ian滤波器(问题),理论上的解，在实际的应用中，(1),(2),(3)中的积分是难以计算的。几种特殊情况可以求解： 有限状态空间（积分转换为求和） 线性系统，高斯噪声（kalman filter）,3 粒子滤波器(Particle Filter),粒子滤波器是（混合）动态系统估计的Monte Carlo （即随机选择）方法，它通过随机选择的样本（或称粒子）集来近似后验概率分布 其优点是： 非线性系统 非参数方法，可以表示任意分布（不受高斯假设约束） 在单个粒子可以同时表示离散和连续状态 计算复杂度可调节(只与粒子数N有关) 适合处理高维状态空间问题,Monte Carlo近似,考察积分问题：
5、,Monte Carlo采样使用一组独立随机变量来近似真实积分，设从概率分布P(x)抽取N个独立同分布随机样本x(1),x(N),则上式的Monte Carlo近似为,重要性采样,问题：难以从真实分布采样。 重要性采样：基本思想是选择一个建议分布（proposal distribution）q(x)代替p(x)。假设q(x)的支撑集涵盖了p(x)的支撑集。,重写积分公式有：,重要性采样,Monte Carlo重要性采样利用一组从q(x)抽取的独立同分布样本对上式加权近似：,规格化,为使权重和为1，对权重进行规格化处理：,3 粒子滤波器,粒子滤波器（Particle filter PF),又称为
6、序列蒙特卡罗(Sequential Monte Carlo, SMC）方法. 两种基本的PF算法： 序列重要性采样算法（Sequential Importance Sampling, SIS），又称为bootstrap filtering , the condensation algorithm 样本重要性重采样（Sample Importance Resampling Filter, SIR）,3 粒子滤波器框架（SIS算法）,权重计算,3 粒子滤波器框架（SIS算法）,重要性采样（退化问题 Degeneracy Problem）,SIS存在退化现象：经过几次迭代后，除了一个例子外，其余的粒
7、子的权值都变得微不足道。 退化问题导致大量的计算能力用于更新微不足道的粒子。,退化问题处理方法： 强力法：许多许多的粒子（低效） 选择好的重要性函数（困难） 重采样 （主流方法）,3 粒子滤波器框架（SIS算法）,3 粒子滤波器框架（SIR算法）,样本重要性重采样（Sample Importance Resampling Filter, SIR）从SIS推导而来，满足以下两个条件： 重要性q(.)密度 取先验密度 , 重采样：每一时间步都进行重采样,重采样过程,特点：权重高的粒子更多地被选中,3 粒子滤波器框架（SIR算法）,重采样（采用基于顺序统计量(order statistics)的算法
8、可以在O(Ns)的时间内实现重采样）: 生成样本集 ，使得 ； 然后令,3 粒子滤波器框架（SIR算法）,3 粒子滤波器框架（SIR算法）,重采样（样本枯竭现象 sample impoverishment）,SIR样本枯竭现象：权重较高的粒子被统计地选择多次，这导致粒子集丧失多样性（a loss of diversity among the particles），因为许多样本表示同一点。,3 粒子滤波器（缺点）,缺点 粒子数目N过大增加计算复杂度 过小则难以得到满意的近似 退化问题 采样枯竭的问题,4 小结,动态系统通过状态转移方程和测量方程建模。 递推Bayesian滤波器通过预测和校正两个
9、步骤来求后验概率密度函数p(xk|z1:k)，但是一种理论上的解，其积分难以计算。 粒子滤波器通过一组随机选择的带权样本来表示后验密度函数，在这些样本和权值的基础上计算估计。,4 小结,粒子滤波器的优点：非线性，非高斯，混合系统，计算复杂度可调节，高维问题 两种典型的粒子滤波器算法：序列重要性采样算法（SIS),采样重要性重采样算法(SIR)。 粒子滤波器的问题： SIS存在退化现象； SIR样本枯竭现象； N的选择问题。,参考文献,1 M. S. Arulampalam, S. Maskell, N. Gordon, T. Clapp. A Tutorial on Particle Filters for On-line Nonlinear/Non-Gaussian Bayesian Tracking. IEEE Transactions on Signal Processing, v 50, n 2, pp.174-188, 2002,Thanks!,