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1、第二节 直接证明与间接证明,基础梳理,1. 直接证明 (1)定义:直接从原命题的条件 推得命题成立的证明方法. (2)一般形式: (3)综合法 定义:从 出发,以已知的 、 、 为依据,逐, 本题结论.,逐步,本题条件,已知定义,已知公理,已知定理,已知条件,定义,公理,定理,步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法. 推证过程 . (4)分析法 定义:从问题的 出发,追溯导致结论成立的条件,逐步 ,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法称为分析法. 推证过程 ,已知条件,结论,结论,已知条件,2. 间接证明 (1)常用的间接证明方法有 、 、 等. (
2、2)反证法的基本步骤,结论,上溯,反证法,同一法,枚举法, 假设命题的 不成立,即假定原结论的反面为真; 从反设和 出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果; 由矛盾结果,断定 不真,从而肯定原结论成立.,典例分析,题型一 综合法的应用 【例1】已知ab0，求证： .,证明 ab0,b ,即2b ,进而- -2b, a- +ba+b-2b, 即0( )2a-b, ,分析 从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.,反设,结论,归谬,已知条件,存真,反设,学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找
3、到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.,证明：a+b=1, 当且仅当a=b= 时“=”成立.,举一反三,1. 设a0,b0,a+b=1,求证： .,题型二 分析法的应用 【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca. 试证：I24S.,分析 将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论，宜采用分析法.,证明 I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S, 故要证I24S, 只需证a2+b2+c2+2
4、S4S, 即a2+b2+c22S（这对于保证结论成立是充分必要的）. 欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0, 即证（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0, 只需证三括号中的式子均为负值即可,即证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb, 即ab+c,ba+c,ca+b, 它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和. 故I24S.,学后反思 (1) 应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径. (2) 应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.,2. 若sin +cos =1,求证：sin6+co
5、s6=1.,举一反三,证明： 由sin +cos =1 sin2+cos2+2sin cos =1 sin cos =0. 欲证sin6+cos6=1, 只需证(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1, 即证sin4+cos4-sin2cos2=1, 即证(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即证sin2cos2=0. 由式知,上式成立，故原式成立.,题型三 反证法的应用 【例3】(14分)若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ , c=z2-2x+ . 求证：a,b,c中至少有一个大于0.,分析 命题伴有“至少”“不都”“都不”“没
6、有”“至多”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.,证明 假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,2 则a+b+c0, .4 而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+ -3. .6 -30,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)20,8 a+b+c0, 10 这与a+b+c0矛盾. 12 因此a,b,c中至少有一个大于0. 14,学后反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是正确的，不
7、可能有第三种情况出现.,举一反三 3. 已知a,b,c是一组勾股数，且 . 求证：a,b,c不可能都是奇数.,证明： 假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数, 又a,b,c都是奇数, , , 也都是奇数, 是偶数， , 与已知 相矛盾, a,b,c不可能都是奇数.,易错警示,【例】设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立. 求证:对定义域内任意x都有f(x)0.,错解分析 反证法的关键是从假设出发,经过推理论证得出和已知、定义、定理、公理等相矛盾.错解中从这点上出现了错误.,错解 假设f(x)0.f(x+y)=f(x)f(y), 与假设f(
8、x)0矛盾.结论成立.,正解 又f(x)0, f(x)0. 对定义域内任意x都有f(x)0.,考点演练,10. 函数y= (a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,求 的最小值.,解析: A(-2,-1),A在直线mx+ny+1=0上,-2m-n+1=0,即2m+n=1. mn0,m0,n0, 当且仅当 ,即当m= ,n= 时等号成立, 故 的最小值为8.,11.已知a,b,c是不等正数，且abc=1. 求证：,证明： a,b,c是不等正数，且abc=1, ,证明： 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A, 则 . 又由正弦定理,得 ,12. 在ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c, 求证： .,