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1、优秀精品课件文档资料,关于拉普拉斯变换初值问题的讨论,孙怿 菅骁翔 王宇 常保君,一、问题的提出,关于利用拉普拉斯变换求解系统初值问题书中只给出了一种比较简单的情况，即时域函数在零时刻有界时的求解方法。很遗憾，对于在零时刻存在冲击情况下的初值问题，这种方法并不适用。而这种问题又是大量存在的，所以我们认为有必要并且希望能够给出关于这一问题的一个具有普遍性的结论。,二、问题的分析,首先，我们讨论在零时刻存在冲击函数及其导数的情况 设 并且作出如下规定： g(t)在零时刻有界， g(t)在零时刻以前为0， g(t)满足拉普拉斯变换的条件。 显然，这三条要求并不过分。 对这个函数进行拉普拉斯变换，即有
2、,我们已经假设，这里的g(t)是有界的，而且由假设，g(t)在零负时刻应该为0，冲击函数的积分可以直接算出，则可得以下结果,显而易见，系统在零正时刻的状态一定是一个可观测量，也就是说，不管系统在零时刻经历了多么剧烈的变化，在零正时刻的状态总是有界的，从而可以看出，真正反映出系统在零正时刻状态的只是非奇异项g(t)。,当然，当s趋于无穷时，上式的最后一项一定是收敛的，而第一项一定是发散的，如果要让g(t)取一个可以接受的值，只能 寄希望于 是收敛的。 而事实上，由物理上的直观分析，知道这个极限一定是存在的，所以，系统在零正时刻的状态可由此得出：,此即系统在零正的状态。,三、进一步讨论,由上面所得
3、的结果可以看出，决定系统的零正时刻的状态的，只是拉普拉斯变换中与1/s同阶的部分，这很容易使我们联想到留数定理，在留数定理中，回路积分的值也是只与劳伦特级数中变量的1次方有关。我们可以猜测，这种联系有可能为我们提供一个较为普遍的依据拉普拉斯变换求解系统零正状态的方法。,我们设想，可否直接根据留数定理求出系统在零正状态的响应，即猜测如下关系成立： 我们希望这个简洁的关系是正确的，观察一下，显然，当sF(s)的劳伦特级数展开只含有有限多个正幂项时，这个式子是正确的，因为这个式子可以明确的分解为一个多项式和一个与1/s同阶的部分，我们所关心的，自然是这个式子在级数含有无限多个正幂项时成立。很遗憾，这
4、个关系不一定总是成立。,作为一个基本的要求，无论这个级数的形式如何，至少它也应该是一个可以接受的时域函数的变换，换句话说，它的拉普拉斯逆变换至少应该存在，而不至于处处发散到无穷。 设 求其逆变换,值得注意的是，这里积分顺序不能交换，因为积分不一定收敛。想要f(t)有意义，我们就必须要求这个积分收敛，即级数是指数界的，易得 这个式子很好理解，由于指数函数的展开系数是阶乘的倒数，所以要求其他的函数的展开系数不能是比阶乘的倒数低阶的无穷小，从而导出上面的关系。,在这个要求下，积分收敛，利用留数计算是有意义的。也即是说，只要F(s)是指数界的，我们就可以用留数来进行求解，得到的极限就是零正状态。这个条件其实是很宽松的，因为我们一般不会遇到非指数阶的函数，这个结论几乎总是对的。刚才的约束条件的用处就是当无法通过观察判断F(s)是否为指数阶时的一种替代的方法。,最后需要说明的是，以上的讨论都是针对于单值函数说的，虽然一般我们不会遇到多值函数，但从完备的角度来讲，应该对多值函数加以讨论，限于篇幅和水平，这里不再作讨论。 （完）,