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1、统计物理学习讲义,中科院数学院复杂系统研究中心 复杂系统学习班 (CSSGBJ) 韩 靖 2003年10月27日,统计物理、自旋玻璃和复杂系统,统计物理做什么？ 自旋玻璃(Spin Glasses)是什么？ 它们在复杂系统研究中有何应用？ 它们的局限性？ 探讨：对我们的研究有何启发？,学习提纲和计划 (欢迎补充修改),基本概念介绍 Entropy, Boltzmann分布(partition function) Example: K-SAT问题的相变 Dynamics and Landscapes 各态历尽, landscapes, Monte Carlo Simulation Example
2、: Simulated Annealing(模拟退火) Meanfield, Replica Symmetry, Cavity Methods Meanfield 用于网络动力学的例子 Replica Symmetry 用于组合问题的例子 Cavity Methods: Survey Propagation Critical Phenomena & Power-law 相变 SOC, HOT/COLD理论,统计物理,Statistical physics is about systems composed of many parts. 集体行为 组合数学和概率理论 Traditional ex
3、amples: 气体、液体、固体 - 原子或分子； 金属、半导体 - 电子; 量子场 - 量子，电磁场 - 光子等 Complex systems examples: 生态系统 - 物种 社会系统 - 人 计算机网络 - 计算机 市场 - 经纪人agent 鱼群 - 鱼、鸟群 - 鸟、蚁群 - 蚂蚁 组合问题 变量 研究复杂系统为什么要学习统计物理？,Collective Behavior 群体行为,集体行为： 系统由大量相似的个体组成 全局行为不依赖于个体的精确细节， 而相互作用必须合理定义，并且不要太复杂； 个体在单独存在的行为与在整体中的行为很不一样. (在整体中各个体行为变得相似)；
4、相互作用的类型：吸引、抗拒、对齐 主要的集体现象：相变、模式形成、群组运动、同步 研究手段：统计物理、多主体计算机模拟 “磁化”现象:go个体行为 邻居动作的平均方向 同步掌声 恐慌现象,http:/angel.elte.hu/vicsek/,自旋玻璃(Spin Glasses),简单的理想模型，性质丰富，易于研究 个体:spin si; 系统:多个spin局部相互作用 以最简单的Ising模型为例： si=1 或者 1 在lattice上排列，相邻spin之间有相互作用 能量(Hamiltonian)：E = - J(i-1)isi-1si Jij0, 偏好相邻同向；Jij0, 偏好相邻不同
5、向；Jij=0,无相互作用 考虑外部场 E = - Jijsisj - hisi 性质：有序/无序、受挫、相变、对称破缺 现实中的例子：组合问题、恐慌人群、经济模型,E=- Jijsisj,Spin Glass,Configuration r = s1,s2,sn Hamiltonian (E, Cost function): E(r)J=HJ(r) = -Jiksisk Quenched variable: J, random variable a probability distribution P(J) Different Spin model: different P(J) Notat
6、ion:=PJ(s)g(s) So-called Disorder: Structural parameter J is random and have large complexity,自旋玻璃例子- K-SAT问题,经典NP-完全问题 N个布尔变量: xi=True/False, si=1/-1 M个clauses: M个含k个变量的逻辑表达式 K=3, 3-SAT: c1:x1 or (not x3) or x8, c2:(not x2) or x3 or (not x4), c3:x3 or x7 or x9, 目标：满足所有M个clauses 的 N个布尔变量的一组赋值 Spin g
7、lass 的能量 E =- a=1,M(Ca =T), Ground State E=-M 解状态 结果：当K=3, M/N 4.25, 问题求解困难,恐慌现象,行人建模： 期望移动速度、与他人的排斥力、与墙壁的作用力、个人速度的扰动 恐慌（由于火灾或者大众心理）： 人们希望移动更快 人与人之间的物理冲突更厉害； 出口处障碍、堵塞形成； 危险压力出现； 人群开始出现大众恐慌心理； 看不到其它的出口； 计算机模拟实验： (Go) 单出口房间：无恐慌、恐慌、惊跑、带圆柱、火灾 走廊：直走廊、中间加宽的走廊 人群：个人主义、群体心理、两者综合,Begin,统计物理能做什么？怎么做？ 基本点： 只关心
8、状态的概率，并不关心演化的过程 （假设各态历经） 熵最大 核心： Boltzmann分布 (partition function),学习提纲和计划,基本概念介绍 Entropy, Boltzmann分布(partition function) Example: K-SAT问题的相变 Dynamics and Landscapes 各态历尽, landscapes, Monte Carlo Simulation Example: Simulated Annealing(模拟退火) Meanfield, Replica Symmetry, Cavity Methods Meanfield 用于网络
9、动力学的例子 Replica Symmetry 用于组合问题的例子 Cavity Methods: Survey Propagation Critical Phenomena & Power-law 相变 SOC, HOT/COLD理论,Entropy,Microstate r: a specific configuration of system Macrostate R: an evaluation value (R): number of microstates related to a macrostate Micro-canonical entropy: S(R)=k log (R)
10、 More General forms: A macrostate R: pi for system be found in a microstate i A distribution of microstates. Gibbs Entropy: S(R) =-k pi logpi Maximum the most possible distribution of microstates Without constraint on pi, pi=1/N S is maximized,(ni)=M!/n1!n2!.nN!, pi=ni/M,With Constraint on pi: Parti
11、tion Function Z,Observable quantity E (Hamiltonian) Ergodic Hypothesis (time average=ensemble average) We know: From experiments: , Ei for all ri, and = = piEi, pi=1. We want to know the most probable distribution of microstates Maximize S=-kpilogpi and we get: pi=e-Ei/Z, Z=ie-Ei (=(kT)-1) So, pi an
12、d is decided by Ei and Knowing or T and Ei, we can define the most possible distribution of microstates pi and Z T Z distribution is less symmetrical,Toy Example,Three microstates: E1=0, E2=2, E3=3 We have p1E1+p2E2+p3E3= e.g. 2p2+3p3=, and p1+p2+p3=1 3 temperatures: decreasing order of T,Important
13、concepts,Partition function: Z(T,E)=re- E(r)/T Knowing this, we can do a lot of things! Variance of E, #sol, Free Energy: F = -k T lnZ (?) Entropy S=- (F/ T)E=-k pilnpi,Z and #sol (ground state),Z (T)=re-E(r)/T = H=1,2,r|E(r)=H e-H/T When T0, system are most likely in the ground state. e-E(r)/T 0 ex
14、cept E(r)=0 Z(0)= r|E(r)=0 e-0 = r|E(r)=0 So, number of ground states = Z(0). In T0, Z also counts other r that E(r)0. But the lower T, the r with lower E(r) Z counts. Z is decreasing when T is decreasing. The K-SAT result considers T=0.,学习提纲和计划,基本概念介绍 Entropy, Boltzmann分布(partition function) Exampl
15、e: K-SAT问题的相变 Dynamics and Landscapes 各态历尽, landscapes, Monte Carlo Simulation Example: Simulated Annealing(模拟退火) Meanfield, Replica Symmetry, Cavity Methods Meanfield 用于网络动力学的例子 Replica Symmetry 用于组合问题的例子 Cavity Methods: Survey Propagation Critical Phenomena & Power-law 相变 SOC, HOT/COLD理论,各态历尽,对任意2
16、个系统状态r1和r2, r1可以经过有限部变换到r2.,00,01,10,11,熵最大分布的三个条件,Rij=probability of ri changes to rj 方程的平衡状态是熵最大分布, 必须要满足： p=Rp, R 有唯一的主特征向量(特征值为1) 各态历经 细致平衡：平衡态时，piRij=pjRji,Ergodicity breaking and Landscape,Mapping of microstates onto energies,barrier,r1,r2,r3,rn,Very high, unlikely to cross, when system size i
17、s large, T is low: pi/pj=e-(Ei-Ej)/T,Monte Carlo Simulation,设定状态转换矩阵，使得系统演化服从我们希望的状态分布 P。 如果各态历尽和细致平衡，有 把P代入就可以得到Rij,Simulated Annealing,目标P是Boltzmann分布：pie-Ei/T。 Rij/Rji=e-(Ej-Ei)/T Rij= 1 if EjEi e-(Ej-Ei)/T if EjEi Simulated Annealing: We want to minimize E T=0, ergodicity breaking, favors minima
18、l E T0, barriers can be crossed, favors more states Most problems have many metastable states (local optima), various scales of barriers heights,学习提纲和计划,基本概念介绍 Entropy, Boltzmann分布(partition function) Example: K-SAT问题的相变 Dynamics and Landscapes 各态历尽, landscapes, Monte Carlo Simulation Example: Simul
19、ated Annealing(模拟退火) Meanfield, Replica Symmetry, Cavity Methods Meanfield 用于网络动力学的例子 Replica Symmetry 用于组合问题的例子 Cavity Methods: Survey Propagation Critical Phenomena & Power-law 相变 SOC, HOT/COLD理论,Replica Approach and P(J),For a given J, free energy density: fJ=-1/(N) ln ZJ For a P(J), we want to k
20、now: =P(J)fJ For n replicas: Zn=JP(J)(ZJ)n (ZJ)n=s1s2sn exp-a=1nHJ(sa) si is the i th replica. fn=-1/(nN) ln Zn, ln Z= Lim n0 (Zn-1/n) We get: = Lim n0 fn f0,参考教材,http:/ Mark Newman 2001 复杂系统暑期学校教材 http:/www.santafe.edu/mark/budapest01/ K-SAT相变: Nature, Vol 400, July 1999, p133-137 Survey Propagatio
21、n: Science, Vol 297, Aug. 2002, p812-815, p784-785. SOC: 大自然如何工作, Per Bak. HOT/COLD: HOT: Highly Optimized Tolerance: A Mechanism for Power Laws in Designed Systems. J. M. Carlson, John Doyle. (April 27, 1999) COLD: Optimal design, robustness, and risk aversion. M. E. J. Newman, Michelle Girvan and J. Doyne Farmer,