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1、2.4 连续型随机变量 的概率密度,一.连续型随机变量的概念与性质,二.几个常用的一维连续型随机变量,三.小结 思考题,定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度.,连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定,一.连续型随机变量的概念与性质,由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：,几何意义： 概率分布密度曲线不在x轴下方，且该曲线与x轴所围的图形面积为1。,判定一个函数是否可以作为一 个连续型随机变量的分布密度,几何意义：X落在区间(x1,x2的概
2、率Px1Xx2等于区间(x1,x2上曲线y=f(x)下的曲边梯形的面积.,连续型随机变量分布函数的性质,1.,对一个连续型随机变量,若已知其密度函数,则定义，,可求得其分布函数,同时，,2.,连续型随机变量,取任一指定值 的概率,2.,连续型随机变量,取任一指定值 的概率,故对连续型随机变量,有,为0.,3.,则,(1),由定义和积分上限函数导数公式即得，,由(1)式得：,(2),可将上式理解为：,上的概率,连续型随机变量分布函数的性质,上的概率,较线密度的定义）.,由(2)式，,若不计高阶无穷小，则有,即，,完,【例1】,解,即,(3),【例1】设X是连续型随机变量，已知X的概率密度为,其中
3、为正常数试确定常数 A;并求PX0.1.,解,解得A=3.,1.均匀分布,定义,其它,易见，,记为,注：,是相同的，,且与子区间的和度成正比.,事实上，,子区间,任取,二.几个常连续型随机变量,均匀分布,是相同的，,且与子区间的和度成正比.,事实上，,子区间,任取,完,例4,某公共汽车站从上午 7 时起,每 15 分钟来一,班车,即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达,此站,如果乘客到达此站时间,是 7:00 到 7:30 之,间的均匀随机变量,试求他候车时间少于 5 分钟的,概率.,解,以 7:00 为起点 0,以分为单位,依题意,解,以 7:00 为起点 0,以
4、分为单位,依题意,乘客必须在 7:10 到,7:15 之间,或在 7:25 到 7:30 之间到达车站,故所,求概率为,即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.,完,2.指数分布,定义,其中,简记为,易见，,的几何图形如图.,注：,指数分布常用来,例如，,乘客在公交,指数分布,注：,指数分布常用来,例如，,乘客在公交,车站等车的时间，,电子元件的寿命等，,其它,有,因而它在可靠,性理论和排队论中有广泛的应用.,函数,即对任意,指数分布,有,即对任意,它总共能使用至少,已知元件,指数分布,它总共能使用至少,已知元件,概率与从开始使用时算起,率相等，,一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.,完
5、,它至少能使用 小时的概,具有这,小时的条件,例5,已知其参数,求 3 个这样的元件使用 1000 小时,至,少已有一个损坏的概率.,解,由题设知,的分布函数为,由此得到,各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的,用,表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数,例5,已知其参数,求 3 个这样的元件使用 1000 小时,至,少已有一个损坏的概率.,解,各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用,表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数,所求概率为,则,完,【例2】,令：B= 等待时间为1020分钟 ,x,f (x),0,3正态分布,正态分布的概率密度曲线有如下性质:,(a) 在
6、直角坐标系内f(x)的图形呈钟形;,(b)在x=处得最大值,(c) 关于直线x=对称；在x=处有拐点；,(d) 固定,改变，f(x)的图形沿x轴平行移动, 形状不改变,可见决定形状，决定位置.,当x时,曲线以x轴为渐近线; 当大时,曲线平缓;当小时,曲线陡峭,(e)正态分布的分布函数,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布,正态分布有许多良好的性质，
7、这些性质是其它许多分布所不具备的,正态分布可以作为许多分布的近似分布,说明,标准正态分布N(0,1),分布函数,性质：,(2),引理：,注意,一般正态分布的计算,(1)任意一个正态分布，均可化为标准正态分布.,(2)若XN(,2),小结,(3) 若XN(,2),对于任意区间(x1,x2有,【例5】,【例 6】,解:(1),则,得,(2) d 需满足,0,三 小结,1. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质,2. 几个常用的一维连续型随机变量,指数分布、均匀分布、正态分布,1 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩=72,又96分以上占考生总数的,2,3 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车, 如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率,2.3,求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。,查表,考生的外语成绩在60分至84分之间的概率为0.682。,1 解：考生外语成绩XN(72, 2). 由题意,3 解：设该乘客于7时X分到达此站,令：B= 候车时间不超过5分钟 ,