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1、1,网 络 优 化,Network Optimization http:/ 谢金星 办公室：理科楼2206# （电话：62787812） Email: http:/ 最短路问题(Shortest Path Problem),2,许多实际问题都可以转化为最短路问题,其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算法调用,S,T,最短路问题的例子和意义,3,例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing） 某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生产准备费为st , 单件产品的生产费为c
2、t .在某时段t期末, 如果有产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且使总费用最小? （Wagner Whitin，1958）,最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题,假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备.,假设费用均非负，则在最优解中 ，即,可以证明：一定存在满足条件 的最优解.,可以只考虑,4,单产品、无能力限制的批量问题,记wij为第i时段生产量为 时所导致的费用(包括生产准备费、生产费和库存费),
3、即 其中,网络：从所有节点i到j ( i)连一条弧, 弧上的权为wi,j-1 , 如T=4时：,5,例5.3 计划评审技术, 即PERT(Project Evaluation & Review Technique), 又称网络计划技术或统筹法),大型复杂工程项目(Project)往往被分成许多子项目,子项目之间有一定的先后顺序(偏序)要求, 每一子项目需要一定的时间完成. PERT网络的每条弧表示一个子项目,如果以弧长表示每一子项目需要的时间,则最早完工时间对应于网络中的最长路 (关键路线). 工程上所谓的关键路线法(CPM: Critical Path Method)基本上也是计划评审技术的
4、一部分.,项目网络不含圈, 其最长路问题和最短路问题都是可解的.,6,最短路问题,给定有向网络N，弧（i，j）对应的权又称为弧长（或费用）. 对于其中的两个顶点s，t，以s为起点和t为终点的有向路称为s-t有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）. 所有s-t有向路中权(或弧长、费用)最小的一条称为s-t最短路.,对于有向网络中的一个圈，定义它的权为圈上所有前向弧上的权的和, 减去圈上所有反向弧上的权. 权为正的圈称为正圈; 权为负的圈称为负圈; 权为0的圈称为零圈. 对一个有向圈， 它的权就是圈上所有弧上的权的和. 本章的圈一般都是指有向圈, 我们直
5、接将正有向圈简称为“正圈”， 负有向圈简称为“负圈”， 零有向圈简称为“零圈”, 而“无圈”指的是不存在有向圈.,s,t,7,无向网络上的最短路问题一般可以转化为有向网络上的问题. 如果所有弧上的权全为非负（或非正）数，只需将无向图的一条边代之以两条对称的有向弧即可. 如果弧上的权有负有正，一般来说问题要复杂得多。,最短路问题 两点说明,最长路问题可以转化为最短路问题，把弧上的费用反号即可. 必须指出：目前为止，一切最短路算法都只对不含负有向圈的网络有效. 对于含负有向圈的网络，最短路问题是NP困难的. 因此，本章中除非特别说明，一律假定网络不包含负有向圈.,8,xij表示弧（i，j）是否位于
6、s-t路上：当xij =1时，表示弧（i，j）位于s-t路上，当xij =0时，表示弧（i，j）不在s-t路上.,关联矩阵是全么模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间0,1中的实数,不含负圈，变量直接松弛为所有非负实数,思考：为什么xij 可以不限定为0，1？,最短路问题的数学描述,9,5.2.1 Bellman方程,对偶问题为,根据互补松弛条件, 当x和u分别为原问题和对偶问题的最优解时:,10,Bellman方程,当某弧(i,j)位于最短路上时， 即变量xij0时, 一定有,如果u为对偶问题最优解,易知u+c (c为任意实数)仍为最优解. 不妨令 us=0 ，则u的具体数值就可以唯一确定了.
7、,Bellman方程(最短路方程、动态规划基本方程 ),相当于对节点j赋予的一个实数值uj（通常称为 “标号”），在us=0时表示的正好是节点s到节点j的最短路的长度.,一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.,11,定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶点j都存在最短路，它们构成以起点s为根的树形图（称为最短路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定.,前一部分实际上是Bellman最优化原理的直接结果； 后一部分中Bellman方程解的唯一性
8、可以用反证法证明（略）,最短路树（树形图）,12,如果将定理中的条件“只含正有向圈”改为“不含负有向圈”： 上述最短路仍然存在； Bellman方程的解的唯一性可能不成立.,起点s到顶点的最短路长度分别是us=u1=0， u2 =10， u3 =11 但此时只要u3 = u2+1 11 (us=u1=0)就可以满足Bellman方程. 如 us=u1=0， u2 =8， u3 =9 等,最短路树（树形图）,对于一般的网络，Bellman方程只是最短路长度必须满足的必要条件，而不是充分条件； 对于只含正有向圈(或无圈)的连通有向网络，它才是充要条件.,13,最短路算法 -,如果采用邻接表表示法，
9、可首先计算各节点的入度； 然后找入度为零者编号； 去掉已编号节点及相关弧，同时修改相邻节点入度（只需扫描该去掉的节点的出弧）； 依次类推。,如果采用邻接矩阵表示法，可首先计算各节点的入度； 然后找入度为零者编号； 去掉已编号节点及相关弧，同时修改相邻节点入度（只需扫描该去掉的节点的对应行） ； 依次类推。,5.2.2 无圈网络,引理5.1 (拓扑排序, Topological Ordering) 设有向图D不含有向圈,则D的顶点总可以重新编号,使得 .,该算法自然可以用来判断有向图是否无圈图.,14,最短路算法 -,当网络是无圈时，这一最短路算法的复杂度为,5.2.2 无圈网络,当采用递推计算
10、求解上述方程时, 每个顶点和每条弧均被考虑一次 .,这是求解最短路问题可能达到的最小的复杂度, 因为任何算法都至少必须对每条弧考虑一次,15,最短路算法 例,例5.4 计算如下网络(图5.4 (a)中从节点A到所有其它节点的最短路.,计算过程: =0, =min0+1=1, =min0+(-1)=-1, =min0+5,1+(-2),-1+3=-1, =min-1+1, -1+4=0.,16,最短路算法 -,算法通过不断修改这些标号，进行迭代计算. 当算法结束时，距离标号表示的是从起点到该顶点的最短路长度.,基本思想：对于V 中每一个顶点j，赋予两个数值（通常称为“标号”）： 一个是距离标号u
11、j ，记录的是从起点到该顶点的最短路长度的上界； 另一个是前趋标号pred（j），记录的是当起点s到该顶点j 的一条路长取到该上界时，该条路中顶点j 前面的那个直接前趋（节点）.,迭代进行计算的过程中，所有顶点实际上被分成了两类： 一类是离起点 s 较近的顶点，它们的距离标号表示的是从点s到该顶点的最短路长度，因此其标号不会在以后的迭代中再被改变（称为永久标号）； 一类是离起点 s 较远的顶点，它们的距离标号表示的只是从点到该顶点的最短路长度的上界，因此其标号还可能会在以后的迭代中再被改变（称为临时标号）.,5.2.3 正费用网络(Dijkstra,1959),17,正费用网络（Dijkstr
12、a算法）,STEP1. 如果S=V, 则uj为节点s到节点j的最短路路长(最短路可以通过数组pred所记录的信息反向追踪获得), 结束. 否则继续STEP2.,STEP0. (初始化) 令S= ，=V， ；对V 中的顶点j(j s)令初始距离标号 .,STEP2. 从 中找到距离标号最小的节点i，把它从 删除，加入S. 对于所有从i出发的弧 , 若 ，则令 . 转STEP1.,18,正费用网络（Dijkstra算法）,归纳法. 算法开始时结论成立. 设直到迭代的第k步，上述结论(1)(2)成立.,中具有最小标号的顶点 i 可以移入S中，这不会破坏结论（1）.,引理5.2 在上述Dijkstra
13、 算法中, （1）对于S中的任一顶点j，其距离标号uj是从起点s到该顶点j 的最短路路长； （2）对于 中的任一顶点j，其距离标号uj是从起点s出发，只经过S中的顶点到达顶点j 的最短路路长.,对于 中的其它顶点k， 修改标号，不会破坏结论（2）.,19,Dijkstra算法 - 计算复杂性分析,对于节点寻找过程，第一次循环时需要n次比较操作，第二次循环时需要n-1次比较操作，依次类推. 因此，节点寻找过程的复杂度为,综上所述，该算法的复杂度为,该算法的主要计算量在于STEP2循环（最多执行n次），它包括两个过程：节点寻找过程（从 中找到距离标号最小的节点i）和距离修改过程（修改与节点i相邻的
14、节点的距离标号）.,对于距离修改过程，注意到一个顶点只有当它与顶点i相邻时，其标号才可能变更，才需要修改标号. 每次循环所需要修改标号的顶点个数最多为 这一过程的整体效应相当于对每条弧进行一次检查，所以该过程的总计算复杂度为O（m）.,对于稠密网络，这是求解最短路问题可能达到的最小的复杂度,因为任何算法都至少必须对每条弧考虑一次. 对于稀疏网络，利用各种形式的堆（Heap），其复杂度可以降为 或 等,20,标号算法（Labeling Algorithm）,标号算法：目的就是在算法结束时将所有临时标号转变为永久标号. 无圈网络的最短路算法，也可以看成是一种标号算法.,标号设定算法（Label-S
15、etting Algorithm） ：在通过迭代过程对标号进行逐步修正的过程中，每次迭代将一个顶点从临时标号集合中移入永久标号集合中. 一般只能用来求解无圈网络和正费用网络的最短路问题.,标号修正算法（Label-Correcting Algorithm）：每次迭代时并不一定将任何顶点标号从临时标号转变为永久标号，只是对临时标号进行一次修正，所有顶点标号仍然都是临时标号； 只有在所有迭代终止时，所有顶点标号同时转变为永久标号. 标号设定算法可以看成是标号修正算法的特例，因为在算法终止之前，任何永久标号都可以看成是一种特殊的临时标号. 对于一般费用网络的最短路问题采用.,21,一般费用网络：标号
16、修正算法 (逐次逼近法，Successive Approximation),5.3.1 Bellman - Ford算法 (Ford,1956),归纳法,计算从起点到所有其它顶点的最短路: 相当于迭代法解Bellman方程,引理5.3 在（5.11）(5.13)中, 临时标号 是从起点 s =1到顶点 j 且所经过的弧数不超过 k 条时的最短路路长.,k=1显然成立. 假设对k成立,下面考虑k+1的情况.,从起点 s =1到顶点j 且所经过的弧数不超过k+1条时的最短路有两种可能： 只含有不超过k条弧； 含有k+1条弧。,22,Bellman - Ford算法的复杂度,对于不含负有向圈的网络，
17、最短路中弧的条数不超过n-1条. 算法一定在n-1步迭代后收敛,算法的主要工作量是(5.13)式的循环迭代，对给定的 k 和 j ，只需检查节点 j 的所有入弧即可. 所以，对给定的k，正好需要对网络中的每条弧检查一次. 因此，算法的总复杂度为O（mn）.,如果迭代不收敛，即存在某个节点 j 使得 ,则说明网络本来就含有负有向圈. 因此本算法也可以用于判断网络是否含有负有向圈，复杂度为O（mn）.,23,Bellman-Ford算法 （例）,24,算法的总复杂度为O( mn2C).,基本思想：逐步逼近，迭代求解最短路方程,STEP0: 令距离标号us =0, 前趋标号pred(s)=0;对所有
18、其它节点j令uj为无穷大.,STEP1: 如果对所有的弧（i，j）有uj ui + wij ，则结束， uj就是从起点s到节点j的最短路长，最短路可以通过前趋标号（pred）获得. 否则进行下一步.,整数权，每次迭代使得一个节点的距离标号至少减少1 对每个节点的距离标号的修正次数不超过2nC次 总迭代次数不会超过2n2C 次 每次迭代都对所有弧进行检查和判断,需要m次操作（不指明具体寻找弧的方法时）,5.3.2 一般的标号修正算法,25,Bellman-Ford算法是（一般）标号修正算法的特例,经过k遍检查以后，节点j所获得的距离标号 uj表示从起点s=1到顶点j 且所经过的弧数不超过k条时的
19、最短路路长.,在一般标号修正算法中，可以首先对所有弧给定一个顺序，然后依次检查每条弧（i，j）并且在必要时对uj进行修正(减少)；当所有弧均被检查一遍以后，再从第一条弧开始下一遍检查.,这正是Bellman-Ford算法,26,改进的（一般）标号修正算法,基本思想：用链表记录可能满足 uj ui + wij的弧的起点,STEP0: 令LIST=s,距离标号us =0, 前趋标号pred(s)=0;对所有其它节点j令uj为无穷大。,STEP1. 如果LIST= ，则结束， uj 就是从起点s到节点j的最短路长，最短路可以通过前趋标号（pred）回溯获得. 否则进行下一步.,STEP2：从LIST
20、中删去一个节点i, 对从i出发的每条弧（i，j）判断是否满足 uj ui + wij.如果是,则令uj = ui + wij, pred(j)=i, 并令LIST=LISTj. 当从i出发的所有弧都检查完以后,转STEP1.,这一算法的总复杂度为,27,计算网络中所有节点之间的最短路： Bellman-Ford：O(nmn) = O(mn2) Floyd-Warshall算法基本思想：逐步逼近，迭代求解最短路方程: O(n3),5.3.3 Floyd-Warshall算法 （1962),引理5.4 在（5.14）(5.16)中, 临时标号 是不通过k，k+1，,n 节点(i,j 除外)时从节点
21、i到节点j的最短路路长.,归纳法,k=1显然成立. 假设对k成立,下面考虑k+1的情况.,从起点i到j 且不通过k+1, n 节点的最短路有两种可能： (1)不经过k节点 ； (2)经过k节点 。,28,Floyd-Warshall算法的复杂度,对于不含负有向圈的网络，最短路中弧的条数不超过n-1条. 算法一定在n步迭代后收敛,算法的主要工作量是(5.16)式的循环迭代(三重循环),算法的总复杂度为O（n3）.,如果迭代不收敛，即存在节点 i,j 使得 ,则说明网络本来就含有负有向圈.,因此本算法也可以用于判断网络是否含有负有向圈，复杂度为O（n3）.,在某次迭代k发现某个节点i使得 0, 则
22、说明网络本来就含有负有向圈.,29,Floyd-Warshall算法的具体实现,由于要记录所有节点之间最短路的信息, 所以这里我们要用一个二维数组P； 可以依据二维数组P, 采用“正向追踪”的方式得到最短路.,STEP2：如果k=n, 结束; 否则转STEP1.,STEP0: k=0. 对于所有节点i和j: 令 ， , ( ，若节点i和j之间没有弧, 认为 ) .,STEP1: k=k+1. 对于所有节点i和j: 若 , 令 , ; 否则令 , .,30,Floyd-Warshall算法的例,31,Floyd-Warshall算法的例,32,Floyd-Warshall算法的例,33,布 置 作 业,目的,掌握最短路的基本算法及复杂性分析,内容,网络优化第140-143页 2；13；14；16,内容,思考,1 ； （不交）,