科学与逻辑方法论0710悖论ppt课件.ppt

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1、,科学与逻辑方法论 第 讲 悖 论 PARADOX,要知道自己是否为勇者吗？ 要知道自己是否为仁者吗？ 要知道自己是否为智者吗？,什么是悖论？ 先从两个熟悉的悖论实例谈起,芝诺悖论 说谎者悖论,低估说谎者悖论和其它悖论的重要性，把它们当作诡辩或笑料，从科学进步的角度看来是十分危险的。事实上，我们在这里处于一种荒谬的境地，我们被迫肯定一个假句子。如果我们认真对待自己的工作，就不能容忍这个事实。我们必须找出它的原因。 - 塔斯基,一个认识共同体，被迫接受一个假句子。这就是悖论。 这里被迫的含义是： 第一，假句子是明显的，因而是显然不可接受的；第二，找不到得出假句子的推理错在哪里；第三，找不到得出假

2、句子的前提错在哪里。,因此，悖论具有以下本质特征： 第一，它相对于某个认识共同体而言。 第二，它是一个论证。 第三，它的前提是公认正确的背景知识。 第四，它的推理在逻辑上无误。 第五，它的结论明显虚假（其中最为典型的是自相矛盾）。 注意，第二、第三两点都是相对于认识共同体而言的。,关于佯悖 “理发师悖论” “以子之茅，攻子之盾”,“理发师悖论”是罗素悖论的俗本或拟化形式。 为什么罗素悖论称为悖论，而“理发师悖论”只是佯悖？,逻辑学家为什么对悖论感兴趣？ 悖论是对认识共同体的共识，即公认正确的背景知识的挑战。 “根号2”的解悖开始了一个新的数学时代！,对于人类认识共同体来说，任何悖论终将被证明是

3、佯悖！,悖论的两种思考模式： 哲学思辩 逻辑分析,芝诺悖论：关于运动的哲学思辩。 哲学思辩的力量。 哲学思辩的软肋。 警惕：莫使辩证法成为逻辑矛盾和诡辩的庇护所。（- 张家龙：论逻辑悖论）,解决悖论三原则： 第一，消除悖论；（不要出了火海，又入油锅）； 第二，代价尽量小；（尽量保留一切有价值的东西） 第三，自然。,悖论的分类 语形 （syntactic） 语义 （semantic） 语用 （pragmatic）,集合论-语形悖论及其研究,素朴集合论 概括规则：对于任一性质，所有具有该性质的对象就构成一个集合。所有不具有该性质的对象不属于该集合。 对任一性质P，存在唯一的集合A：对任一对象a，a

4、A iff P（a） （ iff = if and only if = 当且仅当）,两种性质： 自有性质：例如，“可理解”这种性质自身是可理解的。因此，“可理解”是自有性质。 非自有性质：例如，“红”这种性质自身并不红，因此，“红”是非自有性质。 如果P是自有性质，则P（P）成立； 如果P是非自有性质，则 P（P）成立。,思考 以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？ 诚实 大于等于6的偶数 具有科学研究的价值 不具有科学研究的价值 可用汉语准确表达 只能用汉语准确表达,思考 以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？ 诚实 （非自有） 大于等于6的偶数 （非自有） 具有科学研究的价值 （自有） 不

5、具有科学研究的价值 （非自有） 可用汉语准确表达 （自有） 只能用汉语准确表达 （非自有）,现在的问题是： 非自有性质本身是自有的，还是非自有的？ 非自有性质是自有的 = 非自有性质具有非自有性质 = 非自有性质是非自有的 非自有性质是非自有的 = 非自有性质具有非自有的性质 = 非自有性质是自有的。,因此， 非自有性质是自有的非自有性质是非自有的 悖论！,为什么称这种类型的悖论为语形悖论？ 非自有性质P可在二阶逻辑中得到形式定义： X（P（X） X（X） （1） 读作：对于任一性质X，X具有性质P，当且仅当X不具有性质X。这就形式地定义了非自有性质P。 既然（1）式对任一性质X成立，其中自然

6、包括性质P。因此，由对（1）式作全称限定，即在（1）式中消去全称量词X，并用P替换X，得： （P（P） P（P） （2） （2）式的意思正是： 非自有性质是自有的非自有性质是非自有的,性质分两类：“非自有”性质和“自有”性质。 类似地，集合分两类： 第一类不以自己为元素，即满足“非自有”。例如“人”这个集合不是人。 第二类以自己为元素，即满足“自有”。例如“可用语言表达的对象”这个集合自身也是可用语言表达的。 现在问：上述第一类集合，即所有不以自己为元素的集合所构成的集合，是否以自己为元素？,“非自有性质”确定了这样一个集合S，这一集合称为罗素集： S以并且只以所有不以自己为元素的集合作为自己

7、的元素。 现在的问题是：S是否以自己为元素？ 显然有 S以自己为元素S不以自己为元素。 这就是罗素悖论。,最大基数悖论 康托定理：对任一集合S，S的幂集的基数大于S的基数。（已证） 现考虑所有集合的集合T。 （1）由康托定理：T的幂集的基数大于T的基数。 （2）由幂集的定义，可知T的幂集的元素都为集合，因此，T的幂集为T的子集，其基数不大于T的基数。 矛盾！,罗素悖论引起的震动 第三次数学危机！,集合论-语形悖论的消解 罗素的分支类型论 从素朴集合论到公理集合论,罗素的分支类型论,恶性循环原则： “凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身不能是该汇集的一分子” - 罗素 总体不能包含只有通过这个总体来

8、定义的分子。 - 张家龙,“非自有”性质 所确定的集合 红 诚实 善 不具有科学 研究价值 非自有,在上面图示的集合中，“非自有”是总体性质。“红”尽管具有这种性质，但“红”的定义不必涉及这种总体性质。“善”、“诚实”等也是如此。但是，“非自有”的定义必须涉及这种总体性质。因此，根据恶性循环原则，“非自有”不能作为这个集合的分子。,恶性循环原则： 任何集合不能以自己作为分子。 x（xx）,分支类型论目标：恶性循环原则。 性质的“型”和“级”,性质的“型” 类型0：个体 - 这朵花 类型1：个体的性质 - 红 类型2：个体的性质的性质 - 鲜艳 类型n：个体的n1类型的性质的性质,性质的“级”

9、在类型n的性质中（n1），如果某个性质的定义不要依据总体性质，则属于0级；某个性质的定义，如果要用到n级性质的总体性质，由属于n+1级。,罗素规定： 每一类型的性质只有当其使用于低于它的那个类型的对象时，才是有意义的。 每一级的性质只有当其使用于低于它的级别的性质时，才是有意义的。 n+1级的性质，决不能包含在n级性质中。 问某个n+1级性质是否具有相应的n级性质，这个问题是没有意义的。 这个规定确实可以消解罗素悖论。,“非自有”性质 所确定的集合 红 诚实 善 不具有科学 研究价值 非自有,在上例中，“红”、 “善”、“诚实”等的总体性质是“非自有”。 “红”、 “善”、“诚实”尽管具有这种

10、性质，但它们的定义不必涉及这种总体性质。而“非自有”这种性质的定义必须涉及这种总体性质。因此，如果“红”、 “善”、“诚实”等性质属于n级，则“非自有”这种性质属于n+1级。,“非自有”这种性质是否非自有？ 这个问题实际上是问： 一个n+1级的性质是否具有n+1级性质？ 这个问题是不成立的。因为n+1级的性质只能为m（mn）级性质所具有。 类似地，不难理解，对于任何集合x （相应于某种性质），问 xx 是否成立是没有意义的。 因此，对于罗素悖论S，问 SS 是否成立是没有意义的。 这就消解了罗素悖论。,对罗素解悖方案的思考,解决悖论三原则： 第一，消除悖论；（不要出了火海，又入油锅）； 第二，

11、代价尽量小；（尽量保留一切有价值的东西） 第三，自然。,根据罗素解悖方案，以下问题都成为伪问题。这很不自然。 以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？ 诚实 大于等于6的偶数 具有科学研究的价值 不具有科学研究的价值 可用汉语准确表达 只能用汉语准确表达,恶性循环原则： “凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身不能是该汇集的一分子” - 罗素 总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。 - 张家龙,拉姆赛（罗素的学生）提出了一个例子： “这间房子里个子最高的那个人” 这个分子的定义显然要涉及所有分子的总体性质。 假设这个人1.8m。则 总体性质：不高于1.8m。 上述定义必然涉及这个总体性质。 根据罗

12、素的恶性循环原则，上述定义被视为伪定义。 很不自然！,也许这就是为什么人类认识共同体至今未宣布罗素悖论为佯悖！,从素朴集合论到公理集合论 公理集合论的基本思想,语义悖论及其研究,多姿多彩的语义悖论,思考 （1）我说的话都是谎话。 （2）我说谎。 为什么句（1）不能称为悖论？句（2）可以称为悖论？ 分析 由句（1）真，可推出句（1）假。（因此，句（1）不可能真，必为假。） 由句（1）假，（不能推出“我说的都不是谎话”，只能推出“我说的话有的不是谎话”，因此）不能推出句（1）真。 因此，句（1）是句假话，但不是悖论。 由句（2）真，可推出句（2）假；由句（2）假，可推出句（2）真。因此，句（2）是

13、悖论。,比较以下两个悖论 （1） 我说谎 （2） 本方框中的 语句是假的,嫌疑人悖论 甲乙两人涉嫌作案被拘审。 甲：我没作案。 乙：我俩只有一人说真话。 如果乙说真话，可推出：甲作案。 如果乙说假话，可推出：甲作案。（思考：为什么） 乙说真话或说假话，二者必居其一。 因此，不管甲事实上是否作案，只要乙说了上面这句话，都可合乎逻辑地推出：甲作案。,理查德悖论 自然数的任一性质均可用有限多的文字表达。如偶数、奇数、素数、3的倍数、能被7整除的数，等等。现把所有这些性质排序，序号均为自然数。如果一种性质的序号不具有此种性质，则称该序号（自然数）为理查德数；否则就为非理查德数。例如，如果偶数这种性质的

14、编号是3，则3是一个理查德数，因为3不是偶数；如果奇数这种性质的编号是5，则5是非理查德数，因为5是奇数。理查德数也是自然数的一个性质，因此，也有一个序号，记为n。 现在问：n是否为理查德数？ 显然有 n是理查德数，当且仅当n不是理查德数。 悖论！,这些悖论的产生都涉及“直接自指”。 悖论是否一定产生于“直接自指”呢？ 以下这个中世纪学者构造的悖论其意义不涉及“直接自指”： 假定苏格拉底只说过唯一的一句话：“柏拉图说谎。”而柏拉图只说过唯一的一句话：“苏格拉底说真话”。 问：苏格拉底的话是真话还是假话？,题外思考： 有人说，苏格拉底和柏拉图一生中不可能只说一句话，因此，上述论证的假设不成立，因

15、此，论证本身及其结论都不能成立。 如果剖析这种似是而非的话？,间接自指 卡片悖论： 一张卡片的正面只写着：“本卡片反面的语句是假的”； 同一张卡片的反面只写着：“本卡片正面的语句是真的”,思考 以下断定哪些能构成悖论？, 设有五个语句A、B、C、D、E。A和B都真，C和D都假。E断定：上述五个语句中，真语句比假语句多。 设有五个语句A、B、C、D、E。A和B都真，C和D都假。E断定：上述五个语句中，假语句比真语句多。, 2+2=5或者本析取句为假 2+2=4并且本合取句为真, （1）地球围绕太阳转 （2）太阳围绕地球转 （3）句（1）是本方框 中唯一的真语句,、和均悖 和均不悖,语义悖论和语形

16、悖论的区别在哪里？ 语形悖论，如罗素悖论： x（xS xx） 因此有： SS SS 语义悖论，如说谎者悖论： 本方框中的 语句是假的,语形悖论可形式地得出，不必涉及语句的真假。 语义悖论涉及语句的真假。,语义悖论的消解,方案1 禁止语句自指。 概念和语句的使用和提及 任何概念和语句不得同时既使用又提及。 禁止语句自指。,“单独概念”不是单独概念。 这是个真句子，并不悖。此句中出现的两个“单独概念”，前者被提及，但并不同时被使用；后者被使用，但并不同时被提及。,我说谎。 如果上面的这句话所断定的谎话包括自身，则这一语句就是既使用，又提及。,禁止语句自指，自然消解了所有的语义悖论。 但是,在日常思

17、维中，有时语句必须自指，否则正常的思维及其交流会被迫中断。 甲：我中了体育彩票头奖。500万！ （1） 乙：是吗？（表示不信） 甲：我说的是真话！ （2） 显然，句（2）不仅指句（1），而且必须自指。,方案2 禁止语句否定性自指。 肯定性自指：断定自身具有某种性质。 否定性自指：断定自身不具有某种性质，例如断定自身假、不可证等等。,甲：我中了体育彩票头奖。500万！ （1） 乙：是吗？（表示惊讶） 甲：（笑）我是骗你的！ （2） 显然，句（2 ）仅指句（1），但并不自指。 禁止句（2 ）这样的语句否定性自指是很自然的。,甲：我中了体育彩票头奖。500万！ （1） 乙：是吗？（表示惊讶） 甲：（

18、笑）我是骗你的！ （=我说谎） （2） 显然，句（2 ）仅指句（1），但并不自指。 上例说明，语句“我说谎”， 在日常运用中，并不自指。,我说谎 （1） 句（1）的自指，是一种否定性自指。 通过禁止语句的否定性自指来排除句（1）这样的说谎者悖论，是自然的。因为句（1）自身的含义并不确定地包含断定自身。事实上，在日常运用中，句（1）并不自指。不自然地规定它自指，然后导出悖论，这是违背日常思维习惯的矫揉之作。,语义悖论的最重要特征是涉及语句的否定性自指。禁止语句的否定性自指确实可以消解几乎所有的语义悖论。 但是,比较以下两个悖论 （1） 我说谎 （2） 本方框中的 语句是假的,（2） 本方框中的

19、语句是假的 根据确定的经验事实和句（2）的含义，句（2）确定无疑地否定性自指。 禁止句（2）这样的语句否定性自指，是不自然的。,哥德尔不可判定性命题 哥德尔在算术形式系统中构造了一个公式A，A的含义是：A在系统中不可证。 不可判定性命题就是哥德尔明确无误地构造出来的否定性自指命题。 禁止语句的否定性自指，就意味着从根本上否定哥德尔的成果。,不可判定性命题 悖论 A的含义是：A不可证。 哥德尔证明了：如果系统是一致的，则A和A在系统中都不可证。 因为A不可证，所以A是真命题，即一个不可证的真命题。因此，如果算术系统是一致的，则存在不可证的数学真理。 这里没有出现悖论。,方案3 区分语言层次 塔斯

20、基关于“真”理论,什么是“真”？ 如何定义“语句p真”？ 说是者为非，或说非者为是，是为假； 说是者为是，或说非者为非，是为真。 - 亚里士多德 T等式： X是真语句当且仅当p。 - 塔斯基,T等式： X是真语句当且仅当p。 这里，p是语句，X是p的名称，可以是p的引号名称，也可以是p的摹状名称。,T等式： X是真语句当且仅当p。 显然，以下作为T等式实例的断定都成立： “雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。 “毛泽东是湖南人”是真的，当且仅当毛泽东是湖南人。 “金属都导电”是真的，当且仅当金属都导电。 因此，有理由概括出定义任意语句p真的一般形式： “p”真，当且仅当p 这里， T等式中的X

21、用p的引号名称“p”代入。,T等式： X是真语句当且仅当p。 显然，以下作为T等式实例的断定都成立： 哥德巴赫猜想是真的，当且仅当每个素数都能表示成两个偶数之和。 牛顿第一定律是真的，当且仅当不受外力作用的物体都作匀速直线运动。 这里， T等式中的X用p的摹状名称代入。,塔斯基发现，T等式会导致悖论！,不妨设想，我在2007年12月20日下午在人大1402教室黑板上写了唯一的这样一句话： 2007年12月20日下午在人大1402教室黑板上的语句是假的。 显然，这句话的摹状名称是： 2007年12月20日下午在人大1402教室黑板上的语句 由T等式，得 2007年12月20日下午在人大1402教

22、室黑板上的语句是真的，当且仅当2007年12月20日下午在人大1402教室黑板上的语句是假的。,塔斯基： 一个理想的关于“真”的定义，应当满足两个条件： 第一，实质上充分。即符合关于真的直觉，体现T等式。 第二，形式上有效。即不会导致悖论。,塔斯基的形式语言层次理论。 对象语言L0 ：其中不出现“真”、“假”等语义概念。 元语言L1 ：其中包括关于L0 语句的“真”、“假”等语义概念。 元元语言L2 ：其中包括关于L1 语句的“真”、“假”等语义概念。 语言Ln 中的语句的真假，只有在语言Ln+1中才能定义。,2007年12月20日下午写在人大4102教室黑板上的语句是假的。 以p表示“2007年12月20日下午写在人大4102教室黑板上的语句”，则如果p属于语言Ln 中的语句，则“p是假的”属于语言Ln+1 中的语句。 因此，以下情况是不可能的： p = p是假的 否则，就会得出结论：语言Ln 中的语句的真假，可以在本语言中定义。,形式语言和自然语言。 区分语言层次的严格定义只有在形式语言中才能进行。 自然语言是不分层次的封闭语言。其中“真”是不可定义的。,本讲结束。谢谢大家！,