水文统计.ppt

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1、第七章 水文统计,研究对象： 频率计算，相关分析 研究内容： 频率计算，包括随机变量及其概率分布、水文频率 曲线、水文频率计算适线法。 相关分析，包括两变量直线相关、两变量曲线相关、复相关。 研究目的： 从已知资料寻求河川径流变化规律，一方面可用成因分析的方法从径流形成的角度去研究径流的变化规律；另一方面，就是用水文统计（数理统计）的方法，去寻求水文现象的统计规律。研究河川径流的统计变化规律，预估径流未来的变化趋势，以满足水利水电工程规划、设计、施工和运行管理的需要。,1、了解概率、随机变量及其概率分布的基本概念 2、了解水文频率曲线常用的线型，要掌握P-III型分布曲线和经验频率曲线的性质和

2、计算方法； 3、了解频率曲线参数的估算方法，要掌握矩法、三点法估算参数的方法； 4、掌握水文频率计算适线法的具体步骤和方法，特别是参数对频率曲线的影响； 5、了解相关分析的基本概念和方法，特别要掌握两变量直线相关、曲线相关的方法和具体步骤。 水文统计涉及到概率论与数理统计理论，也涉及到数值计算与最优搜索技术。,7.1 水文统计的意义,内容提要： 水文现象的两重性，概率论与数理统计（水文统计），水文统计的任务 学习要求： 了解水文现象既有必然性一面，又有偶然性一面； 认识水文偶然性亦即随机性可以用数理统计理论进行研究，数理统计在此被称为水文统计； 了解水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统

3、计变化特性，为水利水电工程的规划、设计、施工、运行提供科学依据。,7.1.1 水文现象的特性,水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。 1、必然现象： 确定性。 2、偶然现象： 随机现象 （注：偶然现象仍然是有规律的，一般称为统计规律。）,7.1.2 水文统计规律的研究 - 水文统计,概率论：数学中研究随机现象统计规律的学科 数理统计学： 由随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科 。 水文统计：概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上则称为水文统计。,7.1.3 水文统计的任务,研究和分析水文随机现象的统计变化特性。并以此为基础对水文现象未来可能的

4、长期变化作出在概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需要。,水文统计的基本方法和内容,1、根据已有的资料（样本），进行频率计算，推求指定频率的水文特征值； 2、研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、插补水文特征值和作水文预报； 3、根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。,复习思考题,1、水文现象是一种自然现象，它具有（ ）。 a、不可能性； b、偶然性； c、必然性； d、既具有必然性，也具有偶然性。 2、水文统计的任务是研究和分析水文随机现象的（ ）。 a、必然变化特性； b、自然变化特性； c、统计变化特性； d、可能变化特性。 3、由随机现象的一部分

5、试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为概率论。（ ） 4、偶然现象是指事物在发展、变化中可能出现也可能不出现的现象。（ ）,D,C,7.2 概率的基本概念,内容提要： 事件，概率，频率 学习要求： 1.了解事件的定义及其分类； 2.了解概率是对事件出现可能性大小的数量标准； 3.掌握频率的含义，它与概率的关系； 4.了解概率的加法与乘法定理。,7.2.1 事件,在概率论中, 对随机现象的观测叫做随机试验, 随机试验的结果称为事件。 事件可以分为三种: 必然事件 不可能事件 随机事件,7.2.2 概率,随机事件的概率计算公式 式中：P（A） 在一定的条件组合下，出现随机事件A的概率 ；

6、 k 有利于随机事件A的结果数 ； n 在试验中所有可能出现的结果,7.2.3 频率,设事件A在n次试验中出现了m次，则称 为事件A在n次试验中出现的频率。,7.2.4 概率加法定理和乘法定理,1、两事件和的概率 两个互斥事件A、B ，则 P（A+B）=P（A）+P（B） 2、条件概率 两个事件A、B，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为事件B在条件A下事件B条件概率,记为: P（BA） 3、两事件积的概率 P（AB）=P（A）P（BA）， P（A）0 P（AB）=P（B）P（AB）， P（B）0 若两个事件是相互独立的， 则： P（AB）+P（A）P（B）,7.3 随机变量及其概率分布,

7、内容提要： 随机变量，随机变量的概率分布，随机变量的统计参数 学习要求： 1.了解随机变量及其分类； 2. 了解随机变量与概率的关系，了解分布曲线（函数）、密度曲线（函数）的含义及其之间的关系； 3.了解随机变量的概率分布曲线在水文上称为频率曲线，它有超过制概率与不及制概率之分，常用的是超过制概率。 4. 掌握统计参数的含义和计算方法。,7.3.1 随机变量,随机变量：若随机事件的试验结果可用一个数X来表示， X随试验结果的不同而取得不同的数值，它是带有随机性的，则将这种随机试验结果X称为随机变量。 随机变量可分为两类： 离散型随机变量 连续型随机变量。,7.3.2 随机变量的概率分布,概率分

8、布：随机变量可以取所有可能值中的任何一个值，但是取某一可能值的机会是不同的，有的机会大，有的机会小，随机变量的取值与其概率有一定的对应关系。一般将这种对应关系称为概率分布。,1、离散型随机变量的概率分布,离散型随机变量的概率分布一般以分布列表示，如下表1所示。,2、连续型随机变量的概率分布,（1） 分布函数 设事件Xx 的概率用P（Xx）来表示，它是随随机变量取值x而变化的，所以p（Xx）是x的函数，称为随机变量x的分布函数，记为 F（x），即: F(x)=P(Xx) 它代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。其几何图形如图下图所示，,（b) 图为概率分布函数：图中纵坐标表示变量x，横坐标表示

9、概率分布函数值F（x），在数学上称此曲线为分布曲线，水文统计中称为随机变量的累积频率曲线，简称频率曲线。,（2）分布密度 分布函数导数的负值称为密度函数，记为f（x），即: 密度函数的几何曲线称密度曲线。水文中习惯以纵坐标表示变量x ,横坐标表示概率密度函数值f(x) ，如上图（a）所示。 实际上，分布函数与密度函数是微分与积分的关系。因此，已知f(x) ，则:,（3）不及制累积概率 当研究事件X x 的概率时，数理统计学中常用分布函数G（x）表示： 称不及制累积概率形式，相应的水文统计用的分布函数F（x）称为超过制累积概率形式，两者之间有如下关系：,7.3.3 随机变量的统计参数,统计参数：

10、说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的统计参数。 统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。 水文计算中常用的样本统计参数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。,1、均值 均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变量的观测系列（样本）为 x1，x2 ,xn ， 则其均值为 : 令 称模比系数，则:,2、均方差 均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度。研究系列集中或离散程度，常采用方差Dx或均方差，计算公式为:,3、变差系数 水文计算中用均方差与均值之比作为衡量系列的相对离散程度的一个参数，称为变差系数，或称离差系数、离势系数，用Cv表示，其计算式为: 上式说明，Cv是变量 换算成模比系数

11、k以后的均方差。,4、偏态系数 在数理统计中采用偏态系数作为衡量系列不对称程度的参数，其计算式为: 上式右端的分子、分母同除以均值的三次方，得,当系列对于均值对称时，Cs0； 当系列对于均值不对称时，Cs0， 若Cs0，称为正偏； 若Cs0，称为负偏。,5、矩 （1） 原点矩 随机变量X对原点离差的r次幂的数学期望E（xr），称为随机变量X的r阶原点矩，以符号mr表示，即: mr= E（Xr） （r = 1，2，3，。，n） 对离散型随机变量，r阶原点矩为: mr= E（Xr）= 对连续型随机变量，r阶原点矩为: mr= E（Xr）= 当r=1时，m1= E（X1）= ，即一阶原点矩就是数学期

12、望，也就是算术平均数（均值）。,(2)中心矩 随机变量X对分布中心E（X）离差的r次幂的数学期望EX-E（X） r，称为随机变量X的r阶中心矩，以符号r表示，即: r = EX-E（X） r 对离散型随机变量，r阶中心矩为: r= EX-E（X） r= 对连续型随机变量，r阶中心矩为: r= EX-E（X） r= 当r=2时，2 = EX-E（X） 2= 2 ，即二阶中心矩就是标准差的平方（称方差）。,【思考题】 1、 一阶原点矩就是 （ ）。 a、算术平均数； b、均方差 c、变差系数； d、偏态系数 2、 偏态系数Cs0，说明随机变量x （ ）。 a、出现大于均值 的机会比出现小于均值 的机会多 b、出现大于均值 的机会比出现小于均值 的机会少 c、出现大于均值 的机会和出现小于均值 的机会相等； d、出现小于均值 的机会为0。,a,b,3、水文现象中，大洪水出现机会比中、小洪水出现机会小，其频率密度曲线为 （ ）。 a、负偏； b、对称； c、正偏； d、双曲函数曲线。 4、x、y两个系列的均值相同，它们的均方差分别为x、y，已知xy，说明x系列较y系列的离散程度大。 （ ）。 5、统计参数Cs是表示系列离散程度的一个物理量。 （ ）。,c,