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1、第五章 曲线与曲面,1）点在空间作连续变换方向的运动轨迹,5.1 曲线,曲线的形成一般有下列三种方式：,2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线,（一） 曲线的形成,3）平面与曲面或两曲面相交的交线,必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。,（一） 曲线的形成,（二） 曲线的分类,1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线（如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。,2、按曲线上点的分布可分为两类： 1）平面曲线 曲线上所有点都在同 一平面上，如二次曲线、渐伸线等； 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点
2、不在同一平面上，如螺旋线等。,（三） 曲线的投影,一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确定出它在空间的形状和位置。,按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺次光滑连接即得该曲线的投影。,为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来。,、D、G均为特殊点 B和F为对H面重影点 E为一般点,（三） 曲线的投影,曲线的投影的基本性质,1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投影为直线,2）属于曲线的点，其投影属于
3、曲线的投影，即点与曲线的从属关系为曲线投影的不变性,3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线的投影仍为二次曲线,4）曲线切线的投影仍为其投影的切线,（三） 曲线的投影,反映实形,退化成直线,变了形的曲线,（三） 曲线的投影,（四）圆的投影,圆是最简单的平面曲线,根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其和两面投影）：,（1） 圆所在平面为投影面平行面,（2） 圆所在平面为投影面垂直面,（3） 圆所在平面为一般位置平面,当圆所在平面为投影面平行面时，圆在所平行的投影面上的投影反映该圆的实形。在另一投影面上的投影为直线，线段的长度等于圆的直径,（1） 圆所在平面为
4、投影面平行面,（四）圆的投影,（2） 圆所在平面为投影面垂直面,当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。,（四）圆的投影,（3） 圆所在平面为一般位置平面,当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必须分别求解。,椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影,短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影,（四）圆的投影,方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线， 确定长、短轴的方向与大小,5.2 回转曲面,曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的
5、轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合,如图所示曲面， 是由AA沿着曲线ABC运动且在运动中始终平行于直线MN所形成的,AA称为母线,（一） 曲面的概述,母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的,母线在曲面上的任一位置称为素线，无限接近的相邻两素线称为连续两素线,控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和导面它们统称为导元素,（一） 曲面的概述,母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为规则曲面,母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面,同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用最简单的母线来描述曲面的形成,（一） 曲面的概述,（二） 曲面的投影,只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就
6、可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成的曲面将唯一确定。,（三） 曲面的分类,根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如： 按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面； 按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回转面； 按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母线面和变母线面； 按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则曲面和不规则曲面； 按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类，则可分为可展曲面和不可展曲面。,单叶双曲回转面,1单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。 2单叶双曲回转面的画法 （1） 画出回转轴及直导线的两面投影； （2）
7、作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影： （3） 作出若干素线的投影及素线的包络线。,（四） 直纹回转面,单叶双曲回转面的画法,（四） 直纹回转面,工程用例：水塔支架 冷却塔,单叶双曲回转面,（四）直纹回转面,圆柱面,圆锥面,柱状面,1柱状面的形成 一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面 2柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。,（五） 非回转直纹曲面,柱状面的形成,导平面,曲导线,曲导线,柱状面的画法,柱状面管道,柱状面桥墩,柱状面,（五） 非回转直纹曲面,锥状面,1锥
8、状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时 始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。 2锥状面的画法 （1） 画出一直导线和曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出各素线的投影及素线的包络线。,锥状面的形成,导平面,曲导线,直导线,锥状面的画法,双曲抛物面,1双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。 2双曲抛物面的画法 （1） 画出两条直导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。 3双曲抛物面的截交线,应用：道路边坡过渡段,双曲抛物面的形成
9、,导平面,直导线,直导线,直母线,双曲抛物面的画法,（六）螺旋线和螺旋面,1圆柱螺旋线的形成 当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。 2圆柱螺旋线的画法,圆柱螺旋线的形成,圆柱螺旋线的画法,正螺旋柱状面,1正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。 2正螺旋柱状面的画法 （1）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）； （2）作出直母线的两面投影； （3）作出该曲面上各素线的投影。 3正螺旋柱状面的应用的例子,正螺旋柱状面的形成,正螺旋柱状面的画法,正螺旋柱状面应用的例子,螺旋扶手,螺旋楼梯,塔柱上的螺旋楼梯,正螺旋柱状面应用的例子,应用实例：螺旋楼梯的作图,本章学习结束,