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1、第五章 相似原理与量纲分析,本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。,第一节 流动的力学相似,第一节 流动的力学相似,一. 几何相似（空间相似） 定义： 模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数 。,（4-1）,以上标“ ”表示模型的有关量,:长度比例尺（相似比例常数）,面积比例尺:,（4-2）,体积比例尺:,（4-3）,图5-1 几何相似,满足上述条件，流动才能几何相似,第一节 流动的力学相似,第一节 流动的力学相似,定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。,图5-2速度场相似,二 运
2、动相似（时间相似）,加速度比例尺:,（5-6）,注：长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。,时间比例尺:,速度比例尺:,（5-4）,（5-5）,第一节 流动的力学相似,运动粘度比例尺:,体积流量比例尺:,（5-7）,（5-8）,第一节 流动的力学相似,第一节 流动的力学相似,三. 动力相似 定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。,图5-3 动力场相似,（5-10）,又由牛顿定律可知：,其中： 为流体的密度比例尺。,第一节 流动的力学相似,（5-9）,力的比例尺：,动力粘度比例尺:,功率比例尺:,（
3、5-13）,（5-14）,有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。,压强（应力）比例尺:,力矩（功，能）比例尺:,（5-11）,（5-12）,第一节 流动的力学相似,定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。,第二节 动力相似准则,由式 (5-10) 得:,（5-15）,（5-16）,（5-17）,当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即 ；反之亦然。这就是牛顿相似准则。,称为牛顿数，它是作用力与惯性力的比值。,或:,令:,一、重力相似准则（弗劳德准则）,二、粘性力相似准则（雷诺准则）,三、压力相似准则（欧拉准则）,四
4、、弹性力相似准则(柯西准则),五、表面张力相似准则（韦伯准则）,六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）,流场中有各种性质的力，但不论是哪种力，只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。,第二节 动力相似准则,一、重力相似准则,将重力比 带入式(5-15)得：,或:,令:,（5-18）,（5-19）,（5-20）,当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。,重力场中 ，则：,（a）,二、粘性力相似准则,将粘性力之比 带入式(5-15)得：,或:,令:,（5-21）,（5-22）,（5-23）,（b）,当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相
5、等，反之亦然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。,模型与原型用同一种流体时， ，则：,三、压力相似准则,或:,令:,（5-24）,（5-25）,（5-26）,当压强用压差代替：,将压力比 带入式(5-15)得：,称为欧拉数，它是总压力与惯性力的比值。,当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。这就是压力相似准则（欧拉准则）。,（5-27）,（5-28）,欧拉数:,欧拉相似准则:,四、弹性力相似准则（柯西准则）,将弹性力之比 带入式(5-15)得：,（5-29）,或:,（5-30）,令:,（5-31）,称为柯西数，它是惯性力与弹性力的比值。,当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相
6、等，即 ；反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。,四、弹性力相似准则（马赫准则）,若流场中的流体为气体，由于 （ c 为声速） 则弹性力之比 带入式(5-15)得：,（5-32）,或:,（5-33）,令:,（5-34）,称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。,当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，即 ；反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。,称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。,当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。,五、表面张力相似准则,将表面张力之比 带入式(5-15)得:,（5-35）,或:,（5-36）,令:,（
7、5-37）,称为韦伯数，它是惯性力与表面张力的比值。,当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即 ；反之亦然。这就是表面张力相似准则（韦伯准则）。,六、非定常性相似准则,或:,令:,（5-38）,（5-39）,（5-40）,将惯性力之比 带入式(5-15)得：,称为斯特劳哈尔数，它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。,当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，即 ；反之亦然。这就是非定常相似准则（斯特劳哈尔准则）。,以上给出的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯特劳哈尔数均称 为相似准则数。,如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该 方程直接导出有
8、关的相似准则和相似准则数，方法是 令方程中的有关力与惯性力相比。,第二节 动力相似准则,第三节 流动相似条件,流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。,相似流动必然满足以下条件：,1任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。,模型实验主要解决的问题 ：,1根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3用数
9、学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。,第三节 流动相似条件,图5-4 油池模型,第四节 近似模拟试验,以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。,简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可采用自模化特性和稳定性。,在工程实际中的模型试验，很多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只
10、考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。,自模化的概念实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有两个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。又比如，在圆管流动中，当Re2320时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋转抛物面。当Re4105管内流动状态为紊流状态，其速度分布基本不随Re变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的Re与原型的Re相等否，只要与原型所处同一模化区即可。,第三节 流动相似条件,图5-5 弧型闸门,图5-6 内装蝶阀的管道,第五节 量纲分析法,一、物理方程量纲一致性原则,二、瑞利法,三、 定理,一、物理方程量纲一致性原则,
11、1. 基本量纲：(独立量纲) 长度 (L) 时间 (T) 质量 (M),第五节 量纲分析法,2.导出量纲：,3. 一致性原则,物理方程中要求每一项量纲都相同 例: 量纲为L.,第五节 量纲分析法,二、瑞利法,1. 定义： 根据量纲量一致性原则，确定 相关量的函数关系。,2. 举例：,图5-7 三角堰,第五节 量纲分析法,第五节 量纲分析法,三、 定理： 定理可以解决瑞利中方程的个数等于待定系数的缺点.内容如下 (一)内容,选取影响流动的 n 个物理量写出下述函数关系如 (1) 选择 m 个独立变量，原则是要既相互独立，又包含三个基本量纲. 一般选 : 几何尺度 速度 质量,第五节 量纲分析法,用 n m 个无量纲写出准则方程 (2) 求 (3) 将 带入(2)式，求得 准则方程,第五节 量纲分析法,第五节 量纲分析法,