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1、第五章 扭 转,5-1 扭转的概念,一、扭转的概念及实例,汽车的转向操纵杆,丝锥、电动机轴,受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于轴线。 变形特征：横截面绕轴线转动。,二、外力偶矩的计算,设某轮所传递的功率是N kW，轴的转速是 n rpm,5-2 扭矩和扭矩图,扭矩,例： 图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。,解：,5-3 薄壁圆筒的扭转实验,一、薄壁圆筒的扭转应力分析 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t,受扭前在其表面上用圆周线和纵向
2、线画成方格,然后加载。,(1) 纵向线倾斜了同一微小角度 (2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距 离没有改变 根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有剪应力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。,观察到如下现象：,剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径,根据精确的理论分析,当tr/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。,二、剪应力互等定理,微元体 单元体,剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。,三、剪切胡克定律,薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,
3、即当剪应力不超过材料的剪切比例极限p时,剪应力与剪应变成正比,G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律。,剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比,对于各向同性材料,可以证明:E、G、 三个弹性常数之间存在着如下关系,5-4 圆轴扭转时的应力和变形,一、圆轴扭转时横截面上的应力,变形几何关系 从三方面考虑：物理关系 静力学关系,观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离没有变化 (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度,1.变形几何关系,平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。,根据剪切胡克定律, 当
4、剪应力不超过材料的剪切比例极限时,剪应力方向垂直于半径,2. 物理关系,3.静力学关系,二、圆轴扭转时的变形,圆轴扭转时的强度条件和刚度条件,例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？,8,16,例：图示铸铁圆轴受扭时，在 面上发生断裂，其破坏是由 应力引起的。在图上画出破坏的截面。,45 螺旋,最大拉,例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。,解：,例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比d2D20.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应
5、力相等。求两轴外直径之比D2/D1。,解：由,得：,例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?,解：设实心轴的直径为 d1 ，由,得：,0.8,0.8,1.192,0.8,0.512,例：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承受扭矩T=180 kNm 。试求管中的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。,解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得,(2) 利用精确的扭转理论可求得,例：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其
6、最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。,解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面 积增大一倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为1,例：一空心轴=d/D=0.8，转速n=250r/m, 功率N=60kW，=40MPa，求轴的外直径D和内直径d。,解：,例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为 d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅垂位移。,解：,例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。,解：,例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹
7、角由 90变为 88。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。,解：由,例：传动轴传递外力偶矩5kNm,材料的=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,试选择轴的直径。,解：,例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。,解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T,例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。,解：,静力平衡方程为：,变形协调条件为：
8、,即：,5-6 非圆截面杆扭转的概念,圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设 的基础上。 对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。 因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。,非圆截面杆在扭转时有两种情形:,1.自由扭转或纯扭转 在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力,而没有正应力。,2.约束扭转 扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。,对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。,一、矩形截面杆的扭转,在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且截面的四个角点上剪应力均为零。最大剪应力发生在长边中点处.,二、开口薄壁杆件的自由扭转,开口薄壁杆件:如角钢、槽钢、工字钢等。 壁厚远小于整个截面的高、宽尺寸,其截面中线是一条不封闭的折线。开口薄壁杆件在自由扭转时,截面要发生翘曲。,