五章节量子力学表象变换与矩阵形式.ppt

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1、第五章 量子力学的表象变换与矩阵形式,量子态的不同表象， 幺正变换 力学量的矩阵表示 力学量的表象变换,5.1.1 坐标表象,通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念. 表象: 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象.,平面上的任何一个矢量都可用它们来展开,（2）,A1和A2表示矢量A在两个分量坐标上的投影。,5.1量子态的不同表象， 幺正变换,（3）,写成矩阵的形式,（5）,R（）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。,其转置矩阵表示为,（6）,变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为,因为R=R，,（7）,5.1.2 Rep

2、resentation Theory (表象理论),一个粒子的态完全可由归一化的波函数(r,t)来描述， 将(r,t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。 将(r,t) 还可表示成,在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数， p(r )是动量的本征函数。,（11）,（12）,显然， c(p,t)描述的粒子态与(r,t)描述的粒子态同样完整。 已知c(p,t)，就可以求出(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和(r,t)描述的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。,如果已知(r,t) 就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立。,（13）,（14）,那么在

3、动量表象中，坐标的平均值可以表示为,其它观测量的平均值类似可表示出。,如果(x,t)描述的状态是动量p的自由粒子的状态,在动量表象中，具有确定动量p 的粒子波函数是函数。,例题：一维粒子运动的状态是,解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化,求1）粒子动量的几率分布； 2）粒子的平均动量,动量的几率分布为,动量的平均值为,考虑任意力学量Q本征值为1, 2, n,对应的正交本征函数 u1(x), u 2 (x), u n (x) , 则任意波函数（x）按Q的本征函数展开为,下标n表示能级，上式两边同乘以u*m(x), 并积分,粒子态完全由an完全集确定，即能量表象。,（16）,（17）,

4、3. 能量表象,因为,所以,是对应力学量Q取不同能量本征值的几率,可表示成一列矩阵的形式,其共轭矩阵为一行矩阵,因为波函数是归一化的，表示成,例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数,n=0:,n=1:,因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为,直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。,在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u1(x), u2(x), un(x),看作一组基矢，有无限多个。大小由a1(t), a2(t), an(t),系数决定。 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是

5、正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.,常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象,总结,例题2 质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F0)中运动，运动范围限制在x0, 试在动量表象中求解束缚态能级和本征函数。,解： 势能为V（x）Fx， 总能量为,在动量表象中，x的算符表示为,定态的薛定谔方程,E可由贝塞尔函数解出，基态能级为,习题4.1 求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元,解：Lx在动量表象中的矩阵元,第一项,第二项也可以导出，则Lx的矩阵元,4. 2算符的矩阵表示,设算符F有如下关系 ：,在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，Qn

6、, 对应的本征函数分别为u1(x), u2(x), un(x),.,将(x,t)和 (x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开,代入上式，,两边同乘以u*n(x), 并在整个空间积分,利用本征函数un(x)的正交性,引进记号,（23）,矩阵Fnm的共轭矩阵表示为,因为量子力学中的算符都是厄米算符，,若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为F的共轭矩阵,Fnm的转置矩阵为,例如,例如,例题 （习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元,能量表象,如X在坐标空间中可表示为,动量p在动量空间中表示为,结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵,一维无限深

7、势阱能量表象中能量的矩阵元,一维谐振子能量表象中能量的矩阵元,两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和 Cmn=AmnBmn （42）,两矩阵之积,矩阵Fpp是动量空间。矩阵F（Fmnmn）称为对角矩阵（diagonal matrix ）, 当Fmn=1, 称为单位矩阵（unit matrix）,表示为I(mn).,在动量空间中，算符F的矩阵元,4.3 量子力学公式的矩阵表述,1. 平均值公式,写成矩阵形式,（51）,简写为,例题 求一维无限深势阱中，当n=1和n=2 时粒子坐标的平均值,解：,2. The Eigenvalue Problem,在量子力学中最重要的问题是找算符的本征

8、值和本征函数。,首先，算符F的本征函数满足,（54）,（55）,有非零解的条件是其系数行列式为零,（60）,这是一个线性齐次代数方程组,这是一个久期（secular）方程。将有1， 2 . n n个解,就是F的本征值。,例题： 求算符x在下面波函数中的本征值, -a,a区间,解：,则,3.矩阵形式的薛定谔方程 The Schrdinger Equation in Matrix Form,（81）,（82）,例题： 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数,线性谐振子的总能量为,解法一：在动量表象中，x的算符表示为：,则H算符表示为,定态的薛定谔方程写为,c（p）是动量表象中的本征函数,仿照一维谐

9、振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。,解法二,当n0时，,讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。 设算符A的正交归一的本征函数1(r ) ， 2(r )， n(r ); 设算符B的正交归一的本征函数1(r ) ， 2(r )， n(r );,（64）,（66）,1. Unitary Transformation（幺正变换）,确定Fmn与F之间联系的转换矩阵。,将算符B的本征函数(x)用算符A的本征函数n(x)展开。,（68）,同理,（70）,（71）,应用厄密共轭矩阵性质,得到算符在两个表象中的变换矩阵,简写为,这就是力学量F从A表象变换到B表象的变换公式。,（72）,S与S+的积等于单

10、位矩阵。即,SS+I, S+S-1,（74）,将满足上式的矩阵称为幺正矩阵, 由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换. 物理意义: 在不同的表象中几率是守恒的。如果一个粒子在态n中的几率为1， 在态n中的几率为Sn2,那么, S12, S22, Sn2,给出粒子在态n中出现的几率分布。下面的式子必定成立。,（75）,例题： 求转动矩阵R(）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵.,解：设在A表象中,代入原方程，求解b1、b2,当,变换矩阵,下面讨论态矢量 u(x,t)从A表象变换到B表象的公式,b=S+a,总结：幺正变换的性质,2）幺正变换下， 矩阵的迹（trace) 不变。用TrF表示，定义为矩阵的对角

11、单元之和。那么,TrFA=TrFB, 矩阵的积不依赖于特别的表象。,5.4 狄喇克符号,在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。 同样，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，表象的选取是为了处理问题方便。,在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标系。 同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。 这样一套符号称为狄喇克符号。,1.右矢 (ket) 和左矢（bra） ,左矢 的共轭态矢。 的共轭态矢。,量子体系的一切可能的态构成一个Hilbert空间， Hilbert是一个以复量为基的一个有限的或无限的、完全的矢量空间。, ,一

12、个量子态用右矢 来表示。例如用 表示波函数描述的状态。,标积运算规则：,若 0，则称正交。 若 1，则称为归一化态矢。,表示态矢是正交归一的完备系,例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零,证明：设m为lz=的本征态，属于本征值状态为m,因为对易关系,类似地，利用对易关系,可以证明,|A在Q表象中的分量为a1(t), a2(t), B|在Q表象中的分量为b1(t), b2(t),显然，,若算符F的本征组态矢是正交归一的，本征值分别为Fi,Fj,若算符F的本征态矢是连续谱，,2. 态矢在具体表象中的狄喇克表示方法,坐标x的本征态矢正交归一的条件是，,动量p的

13、本征态矢正交归一的条件是，,波函数的归一化性表示为,因为波函数（x,t）可以用一组基矢展开,因为,这种性质称为本征值n的封闭性。,用狄喇克形式表示为,展开系数为,称为投影算符或单位算符,在连续谱的情况下，求和应换为积分,例题：两个态矢|A 和| B在同一个表象Q中的标记,3. 算符在具体表象中的狄喇克表示方法,设算符F存在如下关系,将态矢A、B分别在Q表象中展开,用|m左乘上式，再利用正交性,两边左乘以 k |,例题：对于（l2,lz）的共同本征态Ylm(,), 计算lx2 ly2的平均值，,对易关系,解：,由于,两边取复共轭,5.5 谐振子的升降算符,（44）,H多项式有如下关系存在,（46

14、）,（45）,（44）与（47）式相加减，得,（48）,将称为降幂算符(lowering operator), 将 + 称为升幂算符.,由于本征值n是谐振子波函数的指数因子,因而我们定义一个数算符N(number operator),（52）,的本征值是n, 本征函数是n,（51）,2. Properties of the Operators and +,（52）,（54）,通过进行 +n运算,我们可以计算从基态开始的所有本征函数,（57）,两式相加、减,由此可计算出能量本征值,例题 对于谐振子的能量本征态|n，计算x, p，x2，p2的平均值及x、p。,解：因为,利用正交性，同样得到,利用正

15、交性，得到,对于基态，n=0，刚好是测不准关系的下限,4. Interpretation of and +,我们知道谐振子的能量是等间隔的, n所具有的能量大于n, 将该能量分成n份，一份称为声子(phonons), 那么将n称为n声子态(n-phonon state),（66）,解释: 如果 作用于波函数, 则湮灭(annihilate)了一个声子, 因而称为湮灭算符; +作用于函数, 则产生一个声子, +产生算符.,由于,称为声子数算符(phonon number operator),（67）,谐振子波场中的量子正是声子. 如果与光子相类比的话, 就更清楚了.,计算a,a+, a,a+a,

16、 a+,a+a,5.6力学量随时间的演化,（1）,因为波函数和算符都是时间相关的， 则平均值也是时间相关的。,（2）,第一项表示算符L的瞬时偏导数的平均值， 第二项积分则利用,（3）,应用算符H的厄密性得到,H=E ,（4）,结论： 平均值随时间的变化就等于 的平均值。,若 L 不显含时间，即,（6）,如果,则,6.2 Ehrenfests Theorem,考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立,对其它分量， 有类似的成立。为了考察它们的对易性，我们考虑粒子在一个势垒中，其哈密顿量为,位置和动量之间的关系与经典力学中的坐标与动量之间的关系一致。,形式与经典的牛顿方程相似。,对三维的位

17、置和动量，有,这就是Ehrenfests theorem,6.3 Laws of Conservation,则该算符对时间的导数为零，其运动可视为常数, 即匀速运动。,如果一个算符本身不显含时间， 即,它又与H对易，,算符H是总能量算符，显然H与它本身对易。即使它显含时间, 其运动仍为常量，这就是能量守恒定律。,匀速运动的算符对我们量子力学的进一步学习非常重要。,1. 守恒量,动量算符P不显含时间，如果Vx=0, 则,称为动量守恒定律.,对中心力, 势能只是半径r的函数, 角动量算符,与势能V(r )对易。整个哈密顿量为,因此 有,角动量守恒定律成立。,还可得出,2. The Virial T

18、heorem,位力定律是从动能算符和势能的平均值得到的公式,既在经典力学中成立，又在量子力学中成立。在经典力学中，,的瞬时平均值在周期运动中为零。,时间导数,在量子力学中， 我们考虑,的表观值。,最后一个等式证明如下,得到位力定律。,我们注意到，从 得到的结果一样，因为它们都与H算符对易。如果是势能为球对称势阱。有位力定理得到,对所有的n都成立,当然的表观值存在.,The Schrdinger Representation,前面我们应用了与时间相关的态函数(r,t)描述物理系统的动力学演化，这样，我们将不显含时间 的力学量的平均值及几率分布随时间的演化，完全归为波函数随之间的演化。而力学量算符

19、则不随时间变化， 因而应用算符来描述不显含时间的物理量，我们将这种描述方式称为薛定谔表象或薛定谔图像。,波函数和算符不是实际观测的对象，实际观测的对象为波函数的几率分布和平均值的变化。,为了解释这两种不同的表象，我们有时也称为图像。我们来看算符L的矩阵元,在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。它们有同样的表观值、同样的谱。从一个表象转变为另一个表象由时间相关的幺正矩阵实现。,The Heisenberg Representation,The Heisenberg Representation( Heisenberg Picture )是薛定谔图像的逆过程。波函数不随时间变化，算符却随时间变化 即由与时间相关的算符来描述物理系统的动力学演化过程。,对波函数，我们写出它的能量表象,定态的时间相关性与指数因子有关，将（93）代入到（92）,（92）,（93）,（94）,（95）,在推导过程中矩阵元并没有发生变化，（92）和（95）只是时间相关性不同，（92）中式波函数与时间相关，而（95）是算符与时间相关。,