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1、第13章 非正弦周期电流电路,本章重点,和信号的频谱,2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率,重点,3. 非正弦周期电流电路的计算,1. 周期函数分解为傅里叶级数,返 回,13.1 非正弦周期信号,生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。,非正弦周期交流信号的特点,(1) 不是正弦波,(2) 按周期规律变化,下 页,上 页,返 回,例2,示波器内的水平扫描电压,周期性锯齿波,下 页,上 页,例1,半波整流电路的输出信号,返 回,脉冲电路中的脉冲信号,例3,下 页,上 页,返 回,交直流共存电路,例4,下 页
2、,上 页,返 回,13.2 周期函数分解为傅里叶级数,若周期函数满足狄利赫利条件：,周期函数极值点的数目为有限个；,间断点的数目为有限个；,在一个周期内绝对可积，即：,可展开成收敛的傅里叶级数,注意,一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。,下 页,上 页,返 回,直流分量,基波（和原 函数同频）,二次谐波 （2倍频）,高次谐波,周期函数展开成傅里叶级数：,下 页,上 页,返 回,也可表示成：,系数之间的关系为：,下 页,上 页,返 回,求出A0、ak、bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。,系数的计算：,下 页,上 页,返 回,利用函数的对称性可使系数的确定简化,偶函数,奇函数,奇谐
3、波函数,注意,下 页,上 页,返 回,周期函数的频谱图：,的图形,幅度频谱,相位频谱,的图形,下 页,上 页,返 回,周期性方波信号的分解,例1,解,图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：,直流分量：,谐波分量：,下 页,上 页,返 回,（k为奇数）,的展开式为：,下 页,上 页,返 回,基波,五次谐波,七次谐波,周期性方波波形分解,下 页,上 页,返 回,直流分量+基波,三次谐波,直流分量+基波+三次谐波,下 页,上 页,返 回,IS0,下 页,上 页,返 回,矩形波的 幅度频谱,矩形波的 相位频谱,下 页,上 页,返 回,13.3 有效值、平均值和平均功率,1. 三角函数的性质,正弦、余弦
4、信号一个周期内的积分为0。,k整数,sin2、cos2 在一个周期内的积分为。,下 页,上 页,返 回,三角函数的正交性,下 页,上 页,返 回,2. 非正弦周期函数的有效值,若,则有效值:,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。,结论,下 页,上 页,返 回,3. 非正弦周期函数的平均值,其直流值为：,若,其平均值为：,正弦量的平均值为：,下 页,上 页,返 回,4.非正弦周期交流电路的平均功率,利用三角函数的正交性，得：,下 页,上 页,返 回,平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率,结论,下 页,上 页,返 回,13
5、.4 非正弦周期电流电路的计算,1. 计算步骤,对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流 C 相当于开路、L 相于短路。）,利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；,将以上计算结果转换为瞬时值迭加。,下 页,上 页,返 回,2. 计算举例,例1,方波信号激励的电路。求u, 已知：,解,(1) 方波信号的展开式为：,代入已知数据：,0,下 页,上 页,返 回,直流分量：,基波最大值：,五次谐波最大值：,角频率：,三次谐波最大值：,下 页,上 页,返 回,电流源各频率的谐波分量为：,（2） 对各次谐波分量单独计算：,（a) 直流分量 IS0 作
6、用,电容断路，电感短路,下 页,上 页,返 回,（b)基波作用,XLR,下 页,上 页,返 回,(c)三次谐波作用,下 页,上 页,返 回,(d)五次谐波作用,下 页,上 页,返 回,(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：,下 页,上 页,返 回,求电路中各表读数(有效值) 。,例2,下 页,上 页,返 回,解,(1)u0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1、C2开路。,i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0,uad0= ucb0 = u0 =30V,下 页,上 页,返 回,(2) u1=120cos1000t V作用,并联谐振,下 页,上 页,返 回,(3) u
7、2=60cos(2000t+ /4)V作用,并联谐振,下 页,上 页,返 回,i=i0+ i1 + i2 =1A,所求电压、电流的瞬时值为：,iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A,iL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) A,uad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t V,ucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45) V,表A1的读数：,表A2的读数：,表A3的读数：,表V1的读数：,表V2的读数：,下 页,上 页,返 回,例3,已知u(
8、t)是周期函数，波形如图，L=1/2 H，C=125/ F，求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。,解,当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：,o,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,振幅相量,例4,求Uab、i、及功率表的读数。,解,一次谐波作用：,三次谐波作用：,测的是u1的功率,下 页,上 页,返 回,例5,L=0.1H，C31F，C1中只有基波电流，C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。,解,C1中只有基波电流，说明L和C2对三次谐波发生并联谐振。即：,下 页,上 页,返 回,C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一次谐波发生串联谐振
9、。即：,直流作用：,下 页,上 页,返 回,一次谐波作用：,三次谐波作用：,下 页,上 页,返 回,13.5 对称三相电路中的高次谐波,设,展开成傅里叶级数( k 为奇数) ，则有：,1. 对称三相电路中的高次谐波,下 页,上 页,返 回,令 k =6n+1，(n =0,1,2)，即：k =1,7,13 ,讨论,各相的初相分别为：,正序对称三相电源,令 k =6n+3，即：k =3,9,15 ,下 页,上 页,返 回,各相的初相分别为：,零序对称三相电源,令 k =6n+5，即：k =5,11,17 ,各相的初相分别为：,负序对称三相电源,下 页,上 页,返 回,结论,三相对称的非正弦周期量（
10、奇谐波）可分解为3类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。,在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三相电路的分析计算，按3类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第12章的方法和有关结论，,2. 零序组分量的响应,对称的三角形电源,下 页,上 页,返 回,零序组电压源是等幅同相的电源,在三角形电源的回路中将产生零序环流,线电压,结论,整个系统中除电源中有零序组环流外，其余部分的电压、电流中将不含零序组分量。,在环流的作用下零序线电压为零,电源内阻,下 页,上 页,返 回,星形对称电源（无中线对称系统）,结论,除了中点电压和电源相电压中含有零序组电压分量外，系统的其余部分的电压、电流都不含零序组分量。,下 页,上 页,返 回,三相四线制对称系统,结论,除线电压外，电路中其余部分的电压、电流中都含零序组分量。,上 页,返 回,