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1、第二章第1讲,1,第2章 连续系统的时域分析,系统的数学模型 微分方程的经典解法 零输入响应 冲激响应 卷积积分与零状态响应,第二章第1讲,2,2.1 微分算子及其特性,定义,则：,对于算子方程：,其含义是：,第二章第1讲,3,微分算子的主要特性,微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。 多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数式那样进行因式分解的运算。,第二章第1讲,4,微分算子的主要特性,算子方程两边的公共因子一般不允许消去。,但在某种情况下公共因子可以消去，如：,但,第二章第1讲,5,微分算子的主要特性,转移算子：,H(p)把激
2、励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：,系统的自然频率(特征根)：,的根为系统的自然频率或特征根。,第二章第1讲,6,微分算子的主要特性,算子阻抗：,对电感：,Lp 算子阻抗,对电容：, 算子阻抗,引入了算子阻抗后，网络的微分方程 可以通过电路分析课程的分析方法列 出。如网孔法、节点法、叠加定理、 戴维南定理等。,第二章第1讲,7,例 2.3,列出电路的微分方程，变量为 i2。,解：网孔方程为：,故，微分方程为：,第二章第1讲,8,举 例,求如图所示电路的转移算子：,解：用节点方程可求得：,第二章第1讲,9,2.2 微分方程的经典解法,全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应) 齐次解y
3、h(t)：齐次方程（右边为零时）的解 写出特征方程，求出特征根(自然频率或固有频率)。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。 无重根： 有重根:,为特征根,第二章第1讲,10,2.2 微分方程的经典解法,特解yp(t)： 根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。 全解（全响应）： 用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个常数，可用个 n 初始值确定。,第二章第1讲,11,例 2.4,描述某线性非时变系统的方程为,试求：当 时的全解。,解：(1)求齐次解，特征方程为：,第二章第1讲,12,例 2.4,(2)求特解：,设特解为
4、：,将上式代入原微分方程，得：,即：,比较系数可得：,第二章第1讲,13,例 2.4,全解的通解为：,将初始条件代入上式，得：,故，全解为：,第二章第1讲,14,全响应=零输入响应+零状态响应,零输入响应的求法与齐次解一样,零状态响应的求法与求非齐次方程一样,第二章第1讲,15,全响应=零输入响应+零状态响应,全响应,对积分常数，有,第二章第1讲,16,例 2.5,解：(1)零输入响应，特征根为：,代入初始值，得,解得,描述某线性非时变系统的方程为,试求：当 时的零输入响应和零状态响应。,第二章第1讲,17,例 2.5,(2)零状态响应：特解求法同例1，,将初始条件代入上式，得：,第二章第1讲
5、,18,齐次微分方程：D(p)r(t)=0，特征方程： D(p)=0,零输入响应的一般形式,设系统为,零输入 f(t)=0 时，即 D(p)y(t)=0,若无重根：,若有K阶重根，即：,第二章第1讲,19,例 2.6,已知系统的转移算子 ，初始条件为, 试求系统的零输入响应 yzi(t)。并画出草图。,解：令 得：,解得：,故：,第二章第1讲,20,例 2.6,已知系统的转移算子 ，初始条件为, 试求系统的零输入响应 yzi(t)。并画出草图。,解：令 得：,解得：,第二章第1讲,21,关于初始状态的讨论,0 状态和 0 状态 0 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的； 0
6、 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 各种响应用初始值确定积分常数的区别 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值，这时的零状态是指 0 状态为零。,第二章第1讲,22,关于初始状态的讨论,从 0 状态到 0 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。 如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。 0 状态的确定 已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。见有关参考资料。 求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出，见第5章内容。,第二章第1讲,23,课堂练习题,2-1 已知系统的微分方程为 ，且初始条件为y(0)=3和y(0)=4。求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应及全响应。并弄清楚几种响应之间的关系。,下一节,