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1、,第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,一、隐函数存在定理简介,隐函数：,由方程所确定的函数.,隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件 ，并有,1.一个方程的情形,例 验证方程,在点,能确定一个有连续导数、当,时,的隐函数,解,设,则,由定理1得：,方程,在点,的某邻域内能确定一个有连续导数、当,时,的隐函数,的某邻域内,隐函数存在定理2 设函数 的某一邻域内具有连续偏导数，且 ，则方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续
2、且具有连续偏 导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 并有,(2),2、方程组的情形,隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比(Jacobi)式：,的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件,并有,方程组,(3),下面，总假设隐函数存在且可导，,在此前提下来讨论,求隐函数的导数或偏导数的方法。,1、一个方程的情形,(1),设该方程确定了函数:,即,等式两端同时对 x 求导, 得,+,=,0,二、隐函数的求导法,(2),设
3、该方程确定了函数:,即,等式两端同时对 x 求偏导, 得,+,=,0,+,等式两端同时对 y 求偏导, 得,+,=,0,+,(3),设该方程确定了函数:,即,等式两端同时对 x 求偏导, 得,+,=,0,+,类似可得,+,解,=,=,例2,解,（1）,设,=,=,=,=,（2）,=,=,=,=,注意,2.方程组的情形,设该方程组确定了,方程组两端同时对 x 求导，得,+,+,+,+,即,+,+,=,=,设该方程组确定了:,方程组两端同时对 x 求偏导，得,+,+,+,+,即,+,+,+,+,=,=,同理,方程组两边同时对 y 求偏导,可得,+,+,+,+,即,+,+,+,+,=,=,例3,解,
4、+,+,+,=,0,+,+,+,=,0,即,+,=,+,=,解得,=,=,=,=,例4,解,+,(,=,0,+,=,0,即,+,=,+,=,+,),解得,=,=,=,=,方法：,由,可确定,(*)式两边同时对 x 求偏导，可求得,(*)式两边同时对 y 求偏导，可求得,(*),又,=,=,，,例5,在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y)；,例6 设函数x=x (u, v), y=y (u, v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数，又,(2)求反函数u=u (x ,y) ，v=v( x, y)对x , y的偏导数.,由隐函数存在定理3，得,(1)证,在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y) .,它们是 x = x (u, v), y = y (u, v) 的反函数。,设方程组(#):,(2) 解,等式两边同时对 x 求偏导，得,确定了函数 u=u(x,y)，v=v(x,y),即,=,=,作业,P89 2, 4, 6, 7, 9, 10, 11,