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1、一、一、不变子空间的概念不变子空间的概念 二二、线性变换在不变子空间上的限制、线性变换在不变子空间上的限制 7.7 7.7 线性变换的定义线性变换的定义 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解四、线性空间的直和分解 第七章第七章 线性变换线性变换 设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的 的子空间，若 有 则称W是 的不变子空间，简称为 子空间. V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一 个变换 来说，都是 子空间. 一、不变子空间一、不变子空间 1、定义 注： 1）两个 子空间的交与和仍是 子空间. 2）设 则W是 子空间 证：
2、显然成立. 任取 设 则 故W为 的不变子空间. 2、不变子空间的简单性质 由于 1）线性变换 的值域 与核 都是 的 不变子空间. 证： 有 故 为 的不变子空间. 又任取 有 3、一些重要不变子空间 也为 的不变子空间. 2）若 则 与 都是 子空间. 证： 对 存在 使 于是有， 为 的不变子空间. 其次，由 对 有 于是 故 为 的不变子空间. 的多项式 的值域与核都是 的不变子空间. 这里 为 中任一多项式. 注： 4）线性变换 的特征子空间 是 的不变子空间. 有 5）由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间. 证：设 是 的分别属于特征值 的特征向量. 3）任何子空间都是数乘变
3、换 的不变子空间. 任取 设 则 为 的不变子空间. 事实上，若 则 为 的一组基.因为W为 子空间， 即必存在 使 是 的特征向量. 特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 子空间. 反过来，一个一维 子空间 必可看成是 的一个特征向量生成的子空间. 注：注： 二、二、 在不变子空间在不变子空间WW引起的线性变换引起的线性变换 定义： 不变子空间W上的限制 . 记作 在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在 设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作 当 时， 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零 变换，即 即有 注：注：
4、当 时， 无意义. 在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换， 1、设 是 维线性空间V的线性变换，W是V 的 子空间， 为W的一组基，把它扩允为 V的一组基： 若 在基 下的矩阵为 ，则 在基 下的矩阵具有下列形状: 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 反之，若 则由 生成的子空间必为 的 不变子空间. 事实上，因为W是V的不变子空间. 即， 均可被 线性表出. 从而， 设 在这组基下的矩阵为 若 ，则 为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵 2、设 是 维线性空间V的线性变换， 都是 的不变子空间，而 是 的一组基，且 （1） 的子空间 为 的不变子
5、空间，且V具有直和分解： 由此即得： 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 生成 V的线性变换 在某组基下的矩阵为准对角形 V可分解为一些 的不变子空间的直和. 反之，若 在基 定理12：设 为线性空间V的线性变换， 是 四、线性空间的直和分解四、线性空间的直和分解 是 的特征多项式. 若 具有分解式： 再设 则 都是 的不变 子空间；且V具有直和分解： 证：令 则 是 的值域， 是 的不变子空间. 又 （2） 下证 分三步： 证明 存在多项式 使 于是 对 有 证明 是直和. 证明 这里 其中 （也即， ）， 则 存在 使 于是 (3) 即证，若 证明 是直和. 用 作用（3）的两端，得 又 从而 所以 是直和. 有多项式 ，使 证明: 首先由(2)，有 即 其次，任取 设 即 令 由（2）, 有 从而有 又 又 由 ， 是直和，它的零向量分解式 即 唯一. 综合 ，即有 于是 故 即有 是 的不变子空间，且 练习：练习：设3维线性空间V的线性变换 在基 下的矩阵为 证明： 是 的不变子空间. 证：令 由 有 即 故W为 的不变子空间.