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1、一、正交子空间,9.5 子空间,二、子空间的正交补,三、练习,一、欧氏空间中的正交子空间,1、定义,1) 与 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对,则称子空间 与 为正交的，记作,则称向量 与子空间 正交，记作,恒有,2) 对给定向量 如果对 恒有,2、说明, 当且仅当 中每个向量都与 正交, 当 且 时，必有,证明：设子空间 两两正交，,3、定理5 两两正交的子空间的和必是直和,要证明,中零向量分解式唯一,只须证：,设,由内积的正定性，可知,二、子空间的正交补,1、定义,如果欧氏空间V的子空间 满足 并且,则称 为 的正交补.,2、定理6 维欧氏空间V的每个子空间 都 有唯一正交补.,证明：当
2、 时，V就是 的唯一正交补,当 时， 也是有限维欧氏空间.,取 的一组正交基,由定理1，它可扩充成V的一组正交基,记子空间,显然,又对,即 为 的正交补.,再证唯一性.,设 是 的正交补，则,由此可得,对 由上式知,即有,又,从而有,即有,同理可证,唯一性得证., 维欧氏空间V的子空间W满足:, 子空间W的正交补记为 即,i),ii),iii),3、说明,) W的正交补 必是W的余子空间.,但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.,称 为 在子空间W上的内射影.,4、内射影,设W是欧氏空间V的子空间，由,对 有唯一的 使,1、设V是n维欧氏空间，内积记为,的一个正交变换，记,试证明：,都是V的子空间；,三、练习,又设T是V,（1）,（2）,2、如W是下列方程组,的解空间，求W？W在,的正交补,