一章数制与编码.ppt

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1、第一章 数制与编码,前言,认识数字逻辑 数字逻辑,即数字电路逻辑设计。是计算机专业硬件课程的基础课程。学好该课程，可为以后学习计算机组成原理、微机原理、系统结构等计算机核心课程打下坚实基础。 模拟量：连续变化的物理量，如声音、速度、温度等。 数字量：间断变化的物理量，如电子表。 讲述内容 应用数字电路进行数字系统逻辑设计的方法。分为“分析”与“设计”。 第一、二章为基础知识，第三、四、五章为本书重点，第六章为应用。其余章节为选讲章节。,数制及其转换 带符号数的代码表示 数的定点表示与浮点表示 数码和字符的代码表示,数制及其转换,1.数制 1.1 概念 基数：每个进位制的符号个数，及进位规则。

2、权：某一进位制中各位“1”所表示的值为该位的权。 例如：十进制数,基数为10 ,第i位权值为10i-1 推广：R进制数，基数为R，第i位权值为（R）i-1，表示方法（X）R,1.2 二进制数及其运算规则 二进制数即基数为 2，计数规则为“逢二进一”。 （1）加法规则：0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 0（有进位） （2）减法规则：0 - 0 = 0 0 1 = 1（有借位） 1- 0 = 1 1- 1 = 0 （3）乘法规则：00 = 0 01 = 0 10 = 0 11 = 1 （4）除法规则：01 = 0 11 = 1,例1. 计算1101+1011 1 1 0

3、1,10,+ 1 0 1 1,10,10,11,1,0,- 1 0 0 1 1,例2. 计算11101 10011 1 1 1 0 1,1,1,0,1,0 0 0 0,1 1 0 1,1 1 0 1,1 1 0 1,1 0 1 1,1 1 1 0,1,1 0 1 1,1 1 0 1,1 0 1 1,1 0,0,1,1,(2)多项式表示法 (N)R=(An-1Rn-1+ An-2Rn-2+A0R0+A-1R-1+A-2R-2+A-mR-m）R n-1 =（AiRi） （其中，n为整数位数，m为小数位数，R为基数，0AiR-1） 如（27）10=（2101+7100）10=（124+123+022

4、+121+120）2 =（1161+10160）16,i=-m,1.3 表示方法 (1)并列表示法 (N)R=(An-1An-2A1A0.A-1A-2A-m)R 如：（27）10=（11011）2=（1B）16,2. 数制转换 (1)二进制数到十进制数 方法：按权值展开法 (1011)2=123+022+120=8+2+1=(11)10 (2)十进制数到二进制数 方法：整数部分，除2取余；小数部分，乘2取整,例1：将（693）10转换成二进制数,由于是整数，用除2取余法，即用整数部分不断去除2，并记下每次的余数，直到商为0为止。余数从下至上即为转换结果。,693 余数,2 346 1,2 17

5、3 0,2 86 1,2 43 0,2 21 1,2 10 1,2 5 0,2 2 1,2 1 0,2 0 1,（639）10=（1010110101）2,练习：（73）10 转换为二进制数。,73 余数 2 36 1 18 0 2 9 0 4 1 2 2 0 1 0 （73）10=（1001001）2 0 1,十进制整数转换为R进制数用“除基取余”法。,例2：将十进制数0.625转换为二进制数。,用小数部分连续与 2 相乘，并记下乘积的整数部分，直到结果小数部分为 0 ，或精度达到要求为止。所得整数部分从上至下即为转换结果。,0.625 整数, 2,.250 1, 2,.500 0, 2,.

6、000 1,(0.625)10=(0.101)2,练习：将(0.364)10转换为二进制数，结果保留4位小数。,0.364 整数 2 .728 0 2 .456 1,0.456 整数 2 .912 0 2 .824 1,(0.364)10=(0.0101)2,十进制小数转换为R进制数用“乘基取整”法。 总结：十进制数转换为R进制数，整数部分用除基取余法，小数部分用乘基取整法。,练习：将（685.235）10转换为十六进制数。（保留3位小数）,整数部分 685 余数 16 42 D 2 A 0 2,小数部分 0.235 整数 16 .760 3 16 .216 1 16 .456 3,(685.

7、235)10=(2AD.313)16,（3）二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换。 方法：直接转换法。 3 位二进制数与 1 位八进制数一一对应，4 位二进制数与 1 位十六进制数一一对应。 对于十六进制数，整数部分将二进制数从右到左以4位为一组分成若干组，最后一组不足4位在高位补 0 ；小数部分将二进制数从左到右以4位一组分成若干组，最后一组不足4位在右端补 0 。按一一对应关系即可转换。,例2：(1)将(11001011011.11001)2 转换成十六进制数。 (2)将(734.25)8 转换成二进制数。 (0110 0101 1011.1100 1000)2=(65B.C8)16

8、(734.25)8=(111 011 100.010 101)2,总结： 整：除2取余，小：乘2取整 十 二 按 按权展开 权 乘/除 直接转换 展 16法 开 十六,带符号数的代码表示,1.真值与机器数 真值:在算术运算中，用“+”“-”符号表示正、负的数据。 机器值：与真值相对应，且便于计算机识别处理的数据。一般用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。 一个n位的带符号二进制机器数bn-1bn-2b1b0，最高位bn-1为符号位，bn-2bn-3b1b0为数值位。 表数范围：- 2n-1 2n-1,2.三种机器数 2.1原码 机器数原码表示，最高位是符号位,0表正号,1表负号 , 以下各位

9、是数值的绝对值。X原= 符号位 + |X| 原码表示中，0有两种形式：+0原=000 - 0原=100,原码表示的特点 优点：与数的真值之间的对应关系简单；用原码实现乘除 运算规则简单。 缺点：减法运算的实现不方便。,2.2 反码 最高位为符号位，其余为数值位。 正数：反码形式同原码形式； 负数：符号位为1，数 值位为原码的数值按位取反。 反码中0有两种形式：+0反=0000 - 0反=1111 反码运算不方便，一般不用。,2.3 补码 最高位为符号位。 正数的补码形式同原码形式，负数补码符号位为1，数值位为 原码数值位各位取反，再末位加1（即反码加1）。 补码中0只有一种形式：+0补=- 0

10、补=0000。 - 1补=1000。 对于负数，若已知补码求原码，末位减1，再按位求反。 补码便于减法运算。,总结： （1）当真值X为n位整数时，机器数X原、X反、X补都为n+1位的数，可为字长为n+1位的计算机所表示。 （2）当真值X为正时，X原、X反、X补最高位都等于0，X为负时，其最高位均为1。 （3）当X为正值时，X原、X反、X补的数值位均与真值完全相同；当X为负值时，数值位：X原保持X的原样，X反是各位取反，X补是各位取反末位加1。 （4）当X为0时，X原和X反有两种形式，X补只有一种形式。,例1：已知X = +101101，Y = - 101101，分别求二数的原码、反码、补码。,

11、X原=X反=X补 = 0101101,Y原 = 1101101 Y反 = 1010010 Y补 = 1010011,例2：已知X原 = 1110001，Y补 = 1110001，求X，Y。,X = - 110001,Y反 = 1110000,Y原 = 1001111,所以，Y = - 001111,练习： 1、设真值X为- 24X24，写出下列真值的原码、反码和补码。 +1010 +1111 - 1010 - 0000,2 、写出下列机器数对应的真值 X1原 = 11011 X2反 = 11011 X3补 = 11011 X4原 = 00000 X5反 = 01111 X6补 = 01000,

12、X1 = - 1011,X2 = -0100,X3 = - 0101,X4 = +0000,X5 = +1111,X6 = +1000,3. 机器数的加、减运算 3.1 原码运算 运算规则：符号相同（同号相加或异号相减），直接相加，符号不变；符号相异（异号相加或同号相减），符号与绝对值较大值保持一致，值为两数相减的结果。符号不参与运算。,例. X = +1101，Y = - 0110，求 X+Y 与 X Y 的值。,分析：X+Y为异号相加，属符号相异情况，所以需比较两数绝对值。 X Y 为异号相减，属符号相同情况，直接相加。,解： X + Y 原 = 0 0111 X Y 原 = 0 0011

13、,用原码做加、减运算时，若符号相异，需比较其绝对值的大小关系。,3.2 反码运算 运算规则：X+Y反 = X反+Y反 X Y反= X反+-Y反 用反码进行运算时，减法运算可转换为加法运算。运算时，符号位和数值位一样参与运算，如果符号位产生了进位，则此进位 应加到和数的最低位，称之为“循环进位”。,解：X+Y反 = X反+Y反 = 00110+11101,0 0 1 1 0,+ 1 1 1 0 1,1 0 0 0 1 1,0 0 1 0 0,X Y反 = X反+- Y反 = 00110+00010 =01000 （+1000）,用反码进行加减运算时，不需考虑两数的大小关系，但有最高位进位时，需“

14、循环进位”。,= 00100 （+0100）,例1. X = +0110，Y = - 0010，求X+Y反、X Y反。,3.3 补码运算 运算规则：X+Y补 = X补+Y补 X Y补=X补+-Y补 用补码进行运算时，减法运算可转换成加法运算。符号位和数值位一样参与运算，如果符号位产生进位，则将此进位丢掉。,例2. X = +0110，Y = - 1010，求 X+Y补，X Y补。,解：X+Y补 = X补 +Y补 先求X补，Y补：X补 = 00110，Y补 = 10110,= 00110+10110 =,0 0 1 1 0,+ 1 0 1 1 0,1 1 1 0 0,11100,X Y补 = X

15、补+- Y补 =,00110+,- Y补 = +1010补 = 01010,01010,= 10000,结论：用补码做减法运算，既不需要绝对值比较，也不需要循 环进位，所以用补码做减法运算最简单。,练习：X = +0110，Y = - 1000，求 X+Y、X Y。,X+Y补 = X补+Y补,= 00110+11000,= 11110,所以，X+Y = - 0010,X Y补 = X补+- Y补,- Y补 = +1000补 = 01000,= 00110+01000,= 01110,所以，X Y = +1110,数的定点表示和浮点表示,数的按值表示,1. 定点表示 定点表示法，就是计算机中数的

16、小数点位置是固定不变的。 （1）机器中小数点不是由实际设备保存，只是一个约定的假想位置。 （2）对于字长为n的计算机表示带符号数时，最高位bn-1为符号位，bn-2b0为数值位。 （3） 小数点位置约定在最高位之前时，表示定点小数。 （-1 S 1） 小数点位置约定在最低位之后时，表示定点整数。 （- 2n-1 S 2n-1） 表示既有整数又有小数部分的数时，需事先选取一个 “比例因子”（2i），然后可用定点小数或定点整数表示。,（3）用浮点表示时，一个字的格式为 字长 = n+m+2，浮点表示中，基数默认为2， 所以无需表示。,（2）浮点表示源于“记阶表示法”，如：十进制数 5678 = 0

17、.5678104 0.005678 = 0.567810-2,2. 浮点表示,（1）浮点表示就是在计算机中数的小数点位置不是 固定的，而是浮动的。,（5）浮点数的规格化 浮点表示的数，其尾数部分用纯小数形式给出，且当尾数不为0时，其绝对值应大于或等于0.5（即小数点后第一位必为“1”）。若不符合，应通过修改阶码，并左右移动尾数实现。可节省存储空间，避免有效数字丢失。 （6）浮点表示与定点表示的比较 同一字长下，浮点表示法所能表示的数值范围较大。,以16位字长为例，浮点表示法的表数范围如下：,定点表示法的表数范围如下：,Sf,15 14 1 0,最小 0 0 1 最大 1 1 1 即 2-15

18、（1 2-15）,同一字长下，定点表示法所能表示的有效数字位数较多。,数码和字符的代码表示,用二进制码来表示数字或字符 1. 十进制数的常用代码 BCD码（Binary Code Decimal）用二进制代码表示十进制数 的一种编码 。四位二进制代码可表示一位十进制数其组合有剩余，所以可有多种编码方案。,1.1 8421码（有权码） 用4 为二进制数表示一位十进制数，从左到右权值依次为8、4、2、1。,特点：排列规律自然，对应关系唯一。不允许出现1010，1011，1100，1101，1110，1111等六个代码。,1.2 2421码 (有权码) 用4 为二进制数表示一位十进制数，从左到右权值

19、依次为2、4、2、1。,特点：由于有两位权值都为2，所以编码方案不唯一。 2421码是对9 的补数，即每个代码取反后与原代码和为9。,1.3 余3码（无权码） 余3码由8421码加3所得。,特点：余3码也是一种对9互补的代码。,2. 可靠性编码 在代码的形成和传输过程中出现错误时，易于发现和矫正或可以避免错误的发生的代码称为可靠性编码。,2.1 格雷码 在一组数的编码中，任意两个相邻数的代码只有一位二进制数不同的编码。,可有多种编码方案，它所代表的数递增时，不会发生粗大错误。,2.2 奇偶校验码,由若干信息位加一位校验位生成，校验位的取值使整个代码中“1”的个数位奇数或偶数。,特点： 1.具有

20、发现一位错的能力，当存取过程中出现两位错时无法检验；,2.不能确定具体出错位的位置；,3.需要奇偶校验位形成电路和检测电路。,十进制数的补数,一、.对9 的补数 1.规则：正数符号位为0，数值位为十进制数本身 负数 N9补=10n-10-m+N （其中n是十进制数N整数位数+1，m是N小数的位数）,例.89549补= -32509补= -25.6399补=,105-1-3250,08954,103-10-3-25.639,= 96749,= 974.360,2.运算 N1-N29补=N19补+-N29补 注：需要循环进位。,例. N1=5489，N2=3250，求N1-N2。,解： N1-N2

21、9补=N19补+-N29补,=05489+96749,=02239,二、对10的补数,1.规则 正数 符号位为0，数值位为十进制数本身 负数 N10补=10n+N （ 其中，n为N的位数+1。）,2.运算 N1-N210补=N110补+-N210补 注：不需要循环进位。,例. N1=72532，N2=33256，求N1-N2。,解： N1-N210补=N110补+-N210补,=072532+966744,=39276,1.实现下列机器数间的转换 （1）x原=10110，求x反； （2）x反=10110，求x补； （3）x补=10110，求x原。 2.已知x原=01101，y原=10101，将x，y转换成补码，求 x+y，再将结果转换成原码。 3.完成下列代码间转换 （100000111001.01110101）8421=（）10 （1011001111001001）余3=（）2421 （752.18）10=（）余3 4.确定下列二进制代码的偶校验码 1010101 ， 100100100,