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1、莫兴德 广西大学 数信学院,Email:,微 积 分,链接目录,参考书,1赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 2同济大学. 高等数学. 高等教育出版社,第四章 习题课,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、主要内容,1、罗尔中值定理,2、拉格朗日中值定理,3、柯西中值定理,4、洛必达法则,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 .,注意：洛必达法则的使用条件.,5、泰勒中值定理,常用函数的麦克劳林公式,Fermat 定理,中值定理揭示了导数与函数之间的关系，是导数应用的理论基础，是利用导数研究函数性质的有
2、效工具。是沟通导数的局部性质与函数在区间上的整体性质的重要桥梁。,6、导数的应用,(1) 函数单调性的判定法,(2) 函数的极值及其求法,极值必要条件、第一、第二充分条件,求极值的步骤:,(3) 最大值、最小值问题,(4) 曲线的凹凸与拐点,(5) 函数图形的描绘,(6) 弧微分 曲率 曲率圆,例1,解,二、典型例题,这就验证了命题的正确性.,*例2,Darboux定理:,证,首先假定,不妨设,如右图所示,由假设知,由,右方邻近，有,由,左侧邻近，有,由 Fermat 定理,得,为明确起见，不妨设,引进辅助函数,由上述已证知,例3 证明方程,在(0,1)内至少有一实根,分析,如令,不便使用介值
3、定理,用 Rolle 定理来证,证,令,则,且,故由Rolle 定理知,例4,证,满足Rolle 定理的条件,*例5,解,例6,解,例7,例8,证,由介值定理,（1）,（2）,注意到,由（1）, （2）有,（3）,（4）,（3）+ （4）,得,例9,解,同时也是最大值,分三种情况讨论,由于,方程有两个实根，分别位于,方程仅有一个实根，即,方程无实根,*例10,证,（1）,（2）,（1） （2）,则有,*例11,解,若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有,解此方程组得,故所求作抛物线的方程为,曲率圆的方程为,两曲线在点处的曲率圆的圆心为,例12,解,奇函数,列表如下:,极大值,拐点,极小值,作图,*例13,Rolle 定理的推广形式,证,由Rolle 定理知,证一,则由题设知,故由知,而,证二,若,则结论显然成立,下设,不妨设有,必存在最大值M,即,故由Fermat 定理知,证一,类似于证一，作变换,证二,作变换,证三,若,则结论显然成立,下设,不妨设有,必存在最小值m,即,故由Fermat 定理知,证明与类似,例14,证,不妨设,由Lagrange定理，有,得,*注,这个结论其实就是 Jensen 不等式(n=2的情况) 其几何意义，如下图所示,弦AB的方程,则弦AB上相应于x0的纵坐标为,凹弧：曲线上的点低于弦上的对应点,