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1、优化模型,教学目的： 初步认识优化模型的基本形式及掌握线性规划模型的建模及求解。 通过实例建模并求解,熟练掌握一些数学软件的使用。,教学内容: 简单介绍优化模型的基本概念和基本类型。 重点介绍优化模型中的线性规划模型。 线性规划模型建模实例及求解的实现。 布置本次课的练习与上机实验内容。,1. 引言 在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等诸多领域中，人们经常遇到的一类决策问题：在一系列客观或主观限制条件下，寻求所关注的某个或多个指标达到最大（或最小）的决策。例如，生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最高；运输方案要在满足物资
2、需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低。 它们的特点就是：在若干可能的方案中寻求某种意义 下的最优方案。数学上称为最优化问题,而研究处理这种问题的方法叫最优化的方法。,优化模型是一类既重要又特殊的数学模型，而优化建模方法是也一种特殊的数学建模方法。优化模型一般有下面三个要素：,(1) 决策变量，它通常是该问题要求解的那些未知量。 （2）目标函数，通常是该问题要优化（最大或最小）的那个目标的数学表达式，它是决策变量的函数。 （3）约束条件，由该问题对决策变量的限制条件给出。,优化模型从数学上可表示成如下一般形式： opt (opt表示最优化(optimize)的意
3、思) s.t. () (),如果 均为线性函数，则上述模型称为线性规划 （Linear Programming,简记为LP），否则称为非线性规划(NLP),问题求解的难度增加,上图是优化模型的简单分类和求解难度,2.优化模型的基本类型,3.1线性规划问题几个概念： 线性规划问题有解：指能找出一组满足约束条件的向量，并称这组为问题的可行解。 线性规划问题无解：指不存在可行解或最优趋向无限大。 可行域：指全部可行解组成的集合。 最优解：指可行域中使目标函数值达到最优的可行解。,3. 线性规划 (目标函数和约束条件都是线性函数),3.2 线性规划模型的解的几种情况,3.3 求解一般方法： (1)图解
4、法：对于只含2个变量的线性规划问题，可通过在平面上作图的方法求解。步骤如下： 在平面上建立直角坐标系； 图示约束条件，找出可行域； 图示目标函数，即为一直线； 将目标函数直线沿着其法线方向向可行解域边界平移，直至与可行解域第一次相切为止，这个切点就为最优点 (2)用EXCELSolver,Matlab,LINDO/LINGO软件实现,3.4线性规划模型的实例 例1 家具生产的安排 家具公司生产桌子和椅子，用于生产的劳力共计450个工时，木材共有4立方米,每张桌子要使用15个工时，0.2立方木材售价80元。每张椅子使用10个工时，0.05立方木材售价45元。问为达到最大的收益，应如何安排生产？,
5、分析： 1. 求什么？ 生产多少桌子？ x1 生产多少椅子？ x2 2. 优化什么？ 收益最大 Max f=80 x1+45 x2 3. 限制条件？ 原料总量 0.2 x1 +0.05 x2 4 劳力总数 15 x1 +10 x2 450,模型：以产值为目标取得最大收益. 设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) 将目标优化为：max f=80x1+45x2 对决策变量的约束： 0.2x1+0.05x24 （） 15x1+10x2 450,（） x1 0, x2 0,模型求解： （1）图解法（用于决策变量是2维）,线性规划问题的目标函数(关于不同的目标值是一族平行直线)目标值的大小描
6、述了直线离原点的远近,并且最优解一定在可行解集的某个极点上达到 (穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点).,（2）用EXCELSolver实现 模型中的数据直接输入EXCEL工作表中。其中决策变量初始的值可以任意给出，它们是可变的，软件最后将给出最优解的值。SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数，表示两个向量或矩阵对应元素乘积的和。,引用工具规划求解（需要工具加载宏安装）,（3）用Matlab实现- lp 线性优化函数 线性优化问题即目标函数和约束条件均为线性函数的问题。 其标准形式为： Min Sub.to: Ax=b 其中 （通常 ）， ， 均为
7、数值矩阵。,max f=80 X1+45 X2 sub.to 0.2 X1+0.05 X24 15 X1+10 X2 450 X1 0, X2 0,化为 min f=- 80 X1- 45 X2 sub.to 0.2 X1+0.05 X24 15 X1+10 X2 450 X1 0, X2 0,程序如下： c=-80,-45;a=0.2,0.05;15,10;b=4,450; vlb=0,0;vub=; x,lam=lp(c,a,b,vlb,vub) （参数vlb,vub给出变量的上下边界的约束） x = 14.0000 24.0000 lam = 100.0000 4.0000 0 0 说明
8、：x解为最优解，lam说明约束条件发挥了作用。,（4）用LINDO/LINGO实现 我们可以直接在下面的窗口输入LP模型（图（4）1）,图（4）1 输入简单的优化模型 输入后，用鼠标单击LINDO软件工具栏中的图标 ，或从菜单中选择SolveSolve(Ctrsl+S)命令，则LINDO开始编译这个模型，编译没错误马上开始求解，求解时会显示如图（4）2所示LINDO求解器运行状态窗口（里面的“Objective”就是最优解，即：2200）。,图（4）2,图（4）3 这个例子中的LP模型太小了，我们可能还没来得及看清（4）2的界面，最优解就出来了，并马上弹出如图 （4）3的对话框，这个对话框询问
9、你是否需要作灵敏性分析，可以先选择“否N”按钮，这个窗口就回关闭，然后在关闭图（4）2。如果你在屏幕上没有看到求解的结果，那么可以用鼠标选择LINDO的主菜单“Window”,会发现有一个子菜单项“Reports Window”，这就是最终结果的报告窗口。用鼠标选择“WindowReports Window”，就可以查看到窗口的内容（图（4）4）,图（4）4 “LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2”表示单纯形法在两次迭代后得到最优解。 “OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2200.000”表示最优目标值为2200.000（在LINDO中目标函数所在的行总是
10、被认为是第1行，这就是这里“1）”的含义）。,VALUE”给出最优解中各变量的值：X1=14.000000，X2=24.000000 “SLACK OR SURPLUS（松弛或剩余）”给出约束对应的松弛变量的值：第2、3行松弛变量均为0，说明对于最优解来讲，两个约束均取等号，即都是紧约束。 “DUAL PRICES”给出对偶价格的值。 “NO. ITERATIONS=2”表示用单纯形法进行了两次迭代（旋转）。 例2 加工奶制品的生产计划（ 例1） 例3 服务员聘用问题（整数线性规划模型） 某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五至少需要80人，周六和周日至少需
11、要90人，现规定应聘者需要连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用总人数最少。,（通过例3主要想说明用LINDO求解时与例1的不同：一般的整数变量可用命令GIN（general integer的缩写），对整数变量的说明只能放在模型的“END”语句之后，如图例31),图例31,4.学生练习与实验： 1、上机练习例1、2。 2、(广告方式的选择)中华家电公司推销一种新型洗衣机,有关数据见下表.销售部第一月的广告预算为20000元,要求至少有8电视商业节目,15家报纸广告/电视广告费不得超过12000元,电台广播至少隔日有一次.现问该公司销售部应当采用怎样的广告宣传计划,才能取得最好的效果?,参考文献 1 http:/ 2 边馥萍，侯文华，梁冯珍.数学模型方法与算法M.北京：高等教育出版 社.2005，5. 3 谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件M.北京：清华大学出版 社.2005,7. 4 王沫然. MATLAB 5.X与科学计算M.北京：清华大学出版社.2000,5. 5 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）M.北京：高等教育出版社.2005,12. 6 http:/