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1、7.5 对角矩阵,一、可对角化的概念,二、可对角化的条件,7.5 对角矩阵,三、对角化的一般方法,第七章 线性变换,7.5 对角矩阵,定义1：设 是 维线性空间V的一个线性变换，,如果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对,角矩阵，则称线性变换 可对角化.,矩阵，则称矩阵A可对角化.,定义2：矩阵A是数域 上的一个 级方阵. 如果,存在一个 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角,一、可对角化的概念,7.5 对角矩阵,1. (定理7)设 为 维线性空间V的一个线性变换，,则 可对角化 有 个线性无关的特征向量.,证：设 在基 下的矩阵为对角矩阵,则有,二、可对角化的条件,就是 的n个线性无关的特征向
2、量.,7.5 对角矩阵,反之，若 有 个线性无关的特征向量,那么就取 为基，则在这组基下 的矩阵,是对角矩阵.,2. (定理8)设 为n维线性空间V的一个线性变换,如果 分别是 的属于互不相同的特征值,的特征向量，则 线性无关.,证：对k作数学归纳法.,当 时， 线性无关. 命题成立.,7.5 对角矩阵,假设对于 来说，结论成立. 现设 为,的互不相同的特征值， 是属于 的特征向量，,即,以 乘式的两端，得,又对式两端施行线性变换 ，得,7.5 对角矩阵,式减式得,由归纳假设， 线性无关，所以,但 互不相同，所以,将之代入，得,故 线性无关.,7.5 对角矩阵,特别地，(推论2) 在复数域C上
3、的线性空间中，,3. (推论1) 设 为n 维线性空间V的一个线性变换，,则 可对角化.,如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可,如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值，,对角化.,7.5 对角矩阵,特征值 的线性无关的特征向量，,则向量 线性无关.,4. (定理9) 设 为线性空间V的一个线性变换，,是 的不同特征值，而 是属于,证明：首先， 的属于同一特征值 的特征向量,的非零线性组合仍是 的属于特征值 的一个特征,向量.,7.5 对角矩阵,令,由有，,若有某个 则 是 的属于特征值 的,特征向量.,而 是互不相同的，由定理8，,必有所有的,7.5 对角矩阵,即,而 线性无关
4、，所以有,故 线性无关.,为 的特征子空间.,5. 设 为n维线性空间V的一个线性变换，,为 全部不同的特征值，则 可对角化,7.5 对角矩阵,6. 设 为n维线性空间V的一个线性变换，,若 在某组基下的矩阵为对角矩阵,则 1） 的特征多项式就是,2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一,确定的,它们就是 的全部特征根(重根按重数计算).,7.5 对角矩阵,三、对角化的一般方法,1 求出矩阵A的全部特征值,2 对每一个特征值 ，求出齐次线性方程组,设 为维线性空间V的一个线性变换，,为V的一组基， 在这组基下的矩阵为A.,步骤:,的一个基础解系（此即 的属于 的全部线性无关,的特征向量在
5、基 下的坐标）.,7.5 对角矩阵,3若全部基础解系所含向量个数之和等于n ，则,（或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个,n阶方阵T，则T可逆， 是对角矩阵. 而且,有n个线性无关的特征向量 从而,T就是基 到基 的过渡矩阵.,7.5 对角矩阵,下的矩阵为,基变换的过渡矩阵.,问 是否可对角化. 在可对角化的情况下，写出,例1. 设复数域上线性空间V的线性变换 在某组基,7.5 对角矩阵,解：A的特征多项式为,得A的特征值是1、1、1.,解齐次线性方程组 得,故其基础解系为：,所以，,是 的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.,7.5 对角矩阵,再解齐次线性方程组 得,故其基础解系
6、为：,所以，,是 的属于特征值1的线性无关的特征向量.,线性无关，故 可对角化，且,在基 下的矩阵为对角矩阵,7.5 对角矩阵,即基 到 的过渡矩阵为,7.5 对角矩阵,例2. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使,为以角矩阵. 这里,得A的特征值是2、2、-4 .,解: A的特征多项式为,7.5 对角矩阵,对于特征值2，求出齐次线性方程组,对于特征值4，求出齐次方程组,的一个基础解系:（2、1、0），（1、0、1）,的一个基础解系:,7.5 对角矩阵,令,则,所以A可对角化.,7.5 对角矩阵,是对角矩阵（即D不可对角化）.,项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能,练习：在 中, 求微分变换D的特征多,解：在 中取一组基：,则D在这组基下的矩阵为,7.5 对角矩阵,于是, D的特征值为0（n重）.,的系数矩阵的秩为n1，从而方程组的基础解系,故D不可对角化 .,又由于对应特征值0的齐次线性方程组,只含有一个向量，它小于 的维数n（1）.,