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1、第8讲,几何体的证明与求解,1利用立体图形与平面图形之间的相互转化去解决有关的 计算、证明问题 2多面体中将立体图形平面化，即可在展开图中即可求得 两点间最短路程计算多面体上两点之间沿表面走过的最短路 程时，通常是将多面体的侧面_，转化为平面内两点间的线 段距离； 而计算球面上的两点之间沿球面走过的最短路程，则需求 出经过这两点的 在这两点之间的一段劣弧的长度,展开,大圆,3处理与旋转体有关的切接问题时，需要寻找适当的截面 以使空间问题平面化，而这种截面往往是圆锥的轴截面、球的 大圆截面、多面体的对角面等等，这个截面必须能反映出体和 体之间的主要位置关系和数量关系，另外割补法也是常用的技巧 1
2、设、是三个不重合的平面，m、n 是不重合的直线， 给出下列命题： 若，则； 若 m，n，则 mn； 若，则； 若 m、n 在内的射影互相垂直，则 mn.,其中错误命题有(,)个,C,A1,B2,C3,D4,2如图 1381，一个空间几何体的正视图和侧视图都是 边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个几 图 1381 3在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是以ABC 为直角的 等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D 是 A1C1 的中点，点 E 在棱 AA1 上，要使 CE平面 B1DE，则 AE .,.,4若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3,4,5，从长 方体
3、的一条对角线的一个端点出发，沿表面运动到另一个端点， 其最短路程是 .,图 1382,考点 1 利用空间向量处理存在性的问题,例 1：如图 1386，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA 底面 ABCD，AB ，BC1，PA 2，E 为 PD 的中点,(1)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；,(2)在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE平面 PAC ，并求出 N,点到 AB 和 AP 的距离,图 1386,解析：方法一：(1)建立如图 1387 所示的空间直角坐标,系,图 1387,(3)当 k 取何值时，O 在平面 PBC 内的射影恰好为PBC 的重心？,图 1
4、389,图 13810,解：以点 O 为原点，OA、OB、OP 所在直线分别为 x、y、 z 轴，建立如图 13810 所示的空间直角坐标系，,(2)在底边 AC 上是否存在一点 M，满足 BM平面 APQ， 若存在试确定点 M 的位置，若不存在请说明理由,图 13811,图 13812,解题思路：折叠问题的解题关键在于分析好两种关系，即 翻折前后哪些位置关系和度量关系发生变化，哪些没有改变,解析：(1)AB3，BC4，,AC5，从而 AC2AB2BC2，即 ABBC. 又ABBB1，而 BCBB1B， AB平面 BC1.,又 PQ平面 BC1，ABPQ.,(2)假设存在一点 M 满足 BM平
5、面 APQ，过 M 作 MNCQ,交 AQ 于 N.,PBCQ，MNPB.,连接 PN，BM平面 APQ，BMPN， 四边形 PBMN 为平行四边形,MN3，AMACMNCQ37.,当点 M 满足 AMAC37 时，BM平面 APQ.,掌握立体图形与平面图形的相互转化，可以解 决由平面图形按要求折叠成立体图形或展开曲面将立体几何图 形转化为平面图形相关的计算与证明问题折叠问题中，抓住 位于同一半平面内的图形相对位置关系和度量关系均不变的规 律,图 13813,【互动探究】,2如图 13813，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边 长为 1，高为 8，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面
6、绕行两 周到达 A1 点的最短路线的长为 .,10,图 13815,图 13816,【互动探究】,3在正三棱锥 PABC 中，AB4，PA 8，过 A 作与 PB、 PC 分别交于 D 和 E 的截面，则截面ADE 的周长的最小值是,_.,解析：沿着 PA 将正三棱锥 PABC 侧面展开，则 A、D、E、,A 共线，且 AABC 时周长最短易求得答案为 11.,例 4 在平面几何里，有勾股定理：“设：ABC 的两边 AB、,AC 互相垂直，则 AB2AC2BC2.”拓展到空间，类比平面几何 的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得 出的正确结论是：“设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC、ACD、 ABD 两两互相垂直，则：,_,11,