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1、一、对偶空间与对偶基,二、对偶空间的有关结果,10.2 对偶空间,三、例题讲析,一、对偶空间与对偶基,1、 对偶空间,设 是数域 上的 维线性空间， 表示,上全体线性函数的集合，在 中定义加法,和数乘运算：,则 构成数域 上的线性空间，称之为V,的对偶空间，记为,定义,2、 对偶基,设 为数域 上线性空间 的一组基，,作映射,则 ，且,即，,有，, 对任意, 线性无关.,证明：设,两端作用 得, 中任意线性函数可由 线性表出.,证明： ，对 ，设,则,线性无关.,综合与即得,定理2 取定线性空间V的一组基,若V上的n个线性函数 满足,则 为 的一组基.,称之为 的对偶基.,例. 上线性空间 ,
2、任意 个不同实数,根据拉格朗日插值公式，有多项式,则,且 为 的一组基.,3、例题讲析,这是因为:, 线性无关.,事实上，若有,用 依次代入上式则得:,线性无关.,为基.,则线性函数满足,因此 是 的对偶基.,设 是在 点的取值函数：,1、定理3 设 与 为线性,空间V的两组基，其的对偶基分别为,与,如果,则 到 的过渡矩阵为,即，,二、对偶空间的有关结果,证明：设V数域P上的一个n维线性空间，,与 是V的两组基，它们的对偶基分别是,即，,再设,其中，,于是有,所以，,即 或,2、线性函数空间的同构,定理4 设V为线性空间， 是V的对偶空间,的对偶空间，即,定义映射,则 为同构映射. 即,证：,同理,所以 保持加法和数量乘法.,首先： 是1-1对应的，,若,则对 , 即,又,由 的任意性，,即,故 是单射.,空间，所以 可看成 上线性函数空间, 与 是,由Th3, 与 同构，而 是 上线性函数空间，,互为线性函数空间的.,注：,例1.设 是线性空间 的一组基,是它的对偶基，,试证： 是 的一组基，并求它的对偶基.,（用 表示）,三、例题讲析,非退化.,故 是 的一组基.,它的对偶基,解：,而,例2.设 是一个线性空间， 是 中的,非零向量. 证明：,存在 使,证： 的核 是 的真子空间，否则,即,从而,与已知矛盾.,