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1、因此 ，,从而（）,当,，分三种情况讨论：,中不含有第 i行; 中同时含有第 i行和第 j 行; 中含有第 i行，但不含有第 j 行. 对和 两种情况，显然 中与对应的子 式 ，故（）；,对于，由,若 ,则因,中不含有第 i行，可知中,有不含第 i行的阶非零子式，从而（）；若,则 ，,故也有（B）.,以上证明了若经过一次初等行变换为， 则（）（），由于亦可经过一次初等行变换变为故也有（）（）因此（）（）。,经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次初等行变换时，矩阵的秩依然不变。,同理可证：经过有限次初等列变换，变成矩阵，则有 （）（）,总之，若经过有限次初等变换变为矩阵，则有（）（）,如在
2、例1中，我们已经计算,的秩为2，将A施行初等变换得,显然，R(B) = 2 , 故 R(A) = R(B) 。,通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的 秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可。,三、求秩,例 设,求矩阵的秩并求的一个最高阶的非零子式.,解 先求的秩。故对作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：,因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以 R(B) = 3。从而 R(A) = 3。,A的一个最高阶非零子式为：,设A为n阶可逆矩阵，则|A|0,从而R(A) = n，称A为满 秩矩阵。,若A为n阶不可逆矩阵，则|A|0,从而R(A) n，称A为 降秩矩阵。,例3 设,求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩。,解,因此，R(A) = 2 , R(B) = 3.,例4 设,若秩R(AB+B) = 2 ，求a 。,解 因为,AB + B = (A + E)B,将所得的矩阵施以初等变换得,由于R(AB+B) = 2，所以12a 0。,故,a =12。,作业,93页 5. (2) (3).,