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1、无穷级数,内容回顾,一 基本要求,1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基 本性质,熟悉级数收敛的必要条件. 2.掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌 握正项级数收敛的比值、根值判别法. 3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理 解绝对收敛和条件收敛的概念.,4.掌握幂级数的收敛半径, 收敛区间和收敛 域的求法.了解幂级数的主要性质. 5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数.,(一)常数项级数,二 要点提示,常用来判定级数是发散的.切不可用来判定,由此可得:若 则级数 必发散.,若 收敛,则,级数是收敛的,例如调和级数 就是发散的.,1.级数收敛的必要条件:,2.正项级数的审敛法,p-级数
2、,调和级数,等比级数,使用比较判别法时,必须熟记一些敛散性,已知的正项级数作为“参照”级数,如,判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序:,(4)级数收敛的定义:,(3)用比较判别法（或极限形式）.,(2)用比值或根值判别法,若失效.,(1) 则发散.,同时考虑到级数的基本性质.,部分和数列极限是否存在.,3.任意项级数,莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件.,当不满足条件时,不能判定级数必发散.,2.若用正项级数的比值或根值判别法判定 发散,绝对收敛的级数必收敛.,注意,对于任意项级数,若 收敛,则称 绝对收敛.,1. 可先考查任意项级数是否绝对收敛；,若 发散而 收敛,
3、则称 条件收敛.,则级数 也发散.,1.收敛半径和收敛区间,(二)幂级数,收敛域：,或,或,或,收敛区间为,对于缺项的幂级数 可按下式,从而得收敛区间为,求出 的范围,2.幂级数的重要性质,(1)在收敛区间 内和函数 连续. (2)可逐项求导. (3)可逐项积分.,逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂 级数有相同的收敛半径, 但在收敛域可能改变.,3.幂级数在其收敛区间内的和函数的求法,在熟记几个常用的幂级数的和函数的基础上, 对照已知级数的特点,可通过恒等变形,变量代换及逐项求导或积分的方法来求和函数.,4.函数展开成幂级数,这通常是较困难的.,(1)直接展开法:,展开,但必须证明余项的极限,
4、(2)间接展开法： 利用已知函数的展开式, 通过恒等变形,变量代换, 级数的代数运算 及逐项求导或积分,把函数展开成幂级数.,注意两点: 1.熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式. 2.根据已知展开式写出所求展开式相应的 收敛区间. 逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变, 但收敛域可能会变.,几个常用初等函数的马克劳林展开,1.试判断下列命题是否正确?,三 思考与分析,则 同敛散.,(2)设 是正项级数,c为大于零的常数,(1)若 则 必定收敛.,答：均不正确.,(2)反例,考虑,(1) 则 发散.,正项级数比较判别法的极限形式,则 同敛散.,设 为正项级数,若,有 证明: 也收敛.,若 均
5、收敛,且对一切自然数,2.下列运算是否正确?,证明:,均收敛,由比较判别法知 收敛.,答：不正确.,因为证明中使用了比较判别法, 而比较判别法只适用于正项级数, 题目中并未指出级数是正项级数.正确方法如下:,由正项级数的比较判别法,3.若级数 和 都收敛, 则,根据正项级数的比较判别法可知,由题意知, 和 收敛,绝对收敛.,故 也收敛,4.当下列条件( )成立时,当(c)成立时,由莱布尼兹定理可得.,收敛.,当(d)成立时, 绝对收敛,因此必定收敛.,判定下列级数的敛散性,若收敛,是绝对 收敛还是条件收敛?,练习题,解 级数为,由于一般项,所以发散.,所以级数收敛.,由正项级数的比值判别法,解
6、 原级数为,由比值法,所以原级数绝对收敛.,是收敛的等比级数,解 原级数可看作,由级数的基本性质,原级数发散.,由莱布尼兹定理知，,从而条件收敛.,交错级数收敛,(二)幂级数,解 由于,求 的收敛区间.,收敛区间为,故收敛半径为,1.下列运算是否正确?,上述运算是错误的.原级数是仅含奇次幂的级数,即为缺项情形,应该用比值判别法来求收敛半径.,故原级数的收敛区间为,当 即 时,原级数收敛.,正确方法为:,解,则原级数变为,(1)令,2.求,的收敛域.,故原级数的收敛区间为 或,即,原级数化为,解 所给级数不是幂级数,原级数的收敛域为,因此,收敛域为,不难知收敛区间为,引入变换,3.求 的和函数及
7、 的和.,解 收敛区间为,法1.拆成两个级数之和,再分别求和.,法2.记,则级数在收敛区间内可逐项积分:,由,求,令,则,解,4. 求幂级数,的和函数.,的收敛域为,的收敛域为,的收敛域为,设,故,5.求幂级数展开式,(1)将 展开成x的幂级数,(2)将 展开成x-1的幂级数.,(3)将 展开成x的幂级数.,解(1),故收敛区间为,其中,故收敛区间为,由逐项积分的性质可得,四.自测题 1.选择题 (1)若 收敛,则,则该级数( ). (a)条件收敛 (b)绝对收敛 (c)发散 (d)可能收敛可能发散,(a)1；(b)0；(c)不存在；(d)不能确定,(2)对任意级数 若 且,(3)若正项级数
8、及 都收敛,则( )收敛.,部分和数列有界,(4)当下列条件( )成立时, 收敛.,(5)若 在 处收敛,则在 处( ).,二.判定下列级数的敛散性,(a)发散 (b)条件收敛 (c )绝对收敛 (d)不能确定,三.判定下列级数的敛散性,若收敛是绝对收敛,还是条件收敛?,四.求下列幂级数的收敛区间,七.证明:若 和 绝对收敛,则,五.求 的和函数,并求 的和.,2. 展开为 的幂级数.,1. 展开为x的幂级数.,六.将函数展开为幂级数,也绝对收敛.,一. 1.a; 2.d; 3.a,b,c; 4.a,d; 5.c.,自测题参考答案,由正项级数的比较判别法可得(b),(c).,由正项级数的比较判别法可得(a).,类似地,就是在 内收敛,故在 处收敛.,二. 1.发散,2.发散(比较),3.收敛, 4.发散(必要条件),处绝对收敛,为什么?,考虑:,5.由幂级数收敛域的特点,在 处收敛,由莱布尼兹判别法,交错级数收敛,从而原级数条件收敛.,由比较判别法极限形式知原级数非绝对收敛.,三.1.条件收敛,2.绝对收敛,3.条件收敛,4.发散.,提示:,4.由,均收敛,故收敛,因此原级数条件收敛.,故原级数非绝对收敛.而,3.也可由性质,因 发散, 收敛,五.收敛区间为,四.,六.,七.,收敛,故 绝对收敛.,由正项级数的比较判别法,收敛,由正项级数的比较判别法知 收敛.,