1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除专题02 概率统计与数学文化纵观近几年高考,概率统计部分以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。【例1】（2019全国I理6）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）AB C D 【答案】A【解析
2、在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数本题，则该重卦恰有3个阳爻的概率故选A【试题赏析】周易是我国最古老的一部筮占之书，约成书于西周时期。起初编纂此书的目的，是为了便于占算时检索吉凶的结果。后有人依附于它的卦爻形式借以发挥哲学思想，对中华文化影响最深远的一部书。本题以周易卦象为背景，考查古典概率的计算，可联系经典实验抛硬币，相当于一枚硬币抛了6次，求有3次正面向上的概率。【例2】(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个
3、不同的数，其和等于30的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】先弄清不超过30的素数有哪些，然后通过列举，得到基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式进行求解不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，列举如下：2,3，2,5，2,7，2,11，2,13，2,17，2,19，2,23，2,29，3,5，3,7，3,11，3,13，3,17，3,19，3,23，3,29，5,7，5,11，5,13，5,17，5,19，5,23，5,29，7,11，7,13，7,17，7,19，7,23，7,29，1
4、1,13，11,17，11,19，11,23，11,29，13,17，13,19，13,23，13,29，17,19，17,23，17,29，19,23，19,29，19,29，故共有98721945种而和为30的有7,23，11,19，13,17这3种情况，所以所求概率为.【试题赏析】“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”是德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,16901764)于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想.18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质的推进，直到20世纪才有所突破.1966年，我国年轻的数学家陈景润，在经过多
5、年潜心研究之后，成功地地证明了“12”，也就是“任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和”这是迄今为止，这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗“数学王冠上的明珠”仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动“12”也被誉为陈氏定理本题以“哥德巴赫猜想”为背景，将数学文化与概率计算相结合，不仅考查了古典概型的概率计算，同时也展示了我国数学家陈景润的研究成果.【例3】(2017高考新课标I文)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D【答案】B【解析】
6、本题以古代的太极图为背景，考查几何概型的概率计算，通过审题，要弄清太极图的特征，得到黑色部分的面积所占的比例，然后进行计算设正方形边长为，则圆的半径为，则正方形的面积为，圆的面积为由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，故选B秒杀解法：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率，故选B【试题赏析】 “太极”是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源，太极图形象地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理本题以此为情境设计了一个简单的概率问题。试题不仅考查几何概型的计算，同时
7、也引导师生重视我国传统文化的学习，关注生活中的数学问题，增强数学的应用意识.【例4】 (2015湖北卷)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A134石 B169石 C338石 D1365石【答案】B【解析】由样本的频率估计总体的频率，254粒和1534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，据此估计设1534石米内夹谷x石，则由题意知，解得x169. 故这批米内夹谷约为169石【试题赏析】本题考查样本估计总体的统计知识，却自然地将数学史作为一种数学文化融入高考。 试题源于古代数学名
8、著九章算术中的“米谷粒分”，渗入其中的是我国古代数学中最朴实的统计思想，能使学生接受数学文化的熏陶，领略数学思想方法的魅力，领会统计思想在现实生活中的应用，形成直接应用数学知识指导社会实践，解决生活、生产问题的意识.1张邱建算经张邱建算经分上、中、下三卷，北魏数学家张邱建著张邱建算经的主要贡献有以下三方面：一是提出求最小公倍数的算法；二是提出计算等差级数的公式；三是“百鸡问题”首创不定方程的研究，对后世影响深远2算学启蒙算学启蒙是中国元代数学家朱世杰撰，分上中下三卷，20门，259问卷上8门，113问，包括各种乘除捷算法和歌诀的应用题，以及各种比例算法许多问题反映了元代的社会经济情况卷中7门，
9、71问，是面积、体积及各种算术问题卷下5门，75问，是关于分数运算、垛积(即高阶等差级数求和)、盈不足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题，还处理了开方过程中系数变号的问题算学启蒙是一部很好的数学教材，它把当时的初级和中级数学知识从乘除口诀开始，包括面积、体积、比例、开方、高次方程、天元术等，有例题，有方法，分门别类，由浅入深，循序渐进，自成系统，确是一部很好的数学启蒙读物1.（2019贵阳一模)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马
10、获胜的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】设齐王的上、中、下三个等次马分别为1,3,5，田忌的上、中、下三个等次马分别为2,4,6，记齐王的马匹为A1,3,5，田忌的马匹为B2,4,6从集合A，B中各抽取一个数字，共有9种：1,2，1,4，1,6，3,2，3,4，3,6，5,2，5,4，5,6其中田忌获胜的三种：3,2，5,2，5,4故所求概率为.2（2019宝鸡模拟）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个
11、不同的数，其和等于15的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】先计算从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有种选法，在计算符合条件和等于15的三个数的种类，即可算出概率从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有种选法，其和等于15的三个数的种类共有8种，即：（图形中各横，各列，对角线所在的三个数字之和均为故其和等于15的概率是：，故选：3（2019襄阳二模）易经是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（
12、ABCD【答案】C【解析】从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数，由此能求出这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为故选：4（2019大兴区模拟）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福
13、字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是故选：5（2019青岛模拟）“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石
14、头”若所出的拳相同，则为和局小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】：根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小华胜小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为，小华获胜有三种情况：小华连胜三局，概率为，小华前三局中两胜另一局不胜，第三局小华胜，概率为：小华前四局中两胜，另两局不胜，第五局小华胜，概率为：小华获胜的概率是故选：6（2019景德镇模拟）如图所示的是我国发行的一枚2019猪年生肖邮票 “肥猪旺福”，其规格为为估算邮票中肥猪图案的面积，现向邮票中随机投掷21粒芝麻，经统计
15、恰有12粒芝麻落在肥猪图案内，则可估计肥猪图案的面积大致为（ ）ABCD【答案】B【解析】：直接利用随机模拟试验方法求解由题意，可估计肥猪图案面积大约是：故选：7.（2019衡水金卷）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D【答案】A8(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，的三边所围成的区域记为，
16、黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为，则（ ）A B C D【答案】A 【解析】设直角三角形的内角，所对的边分别为，则区域I的面积即的面积，为，区域的，所以，由几何概型的知识知，故选A优解 不妨设为等腰直角三角形，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域的面积，区域的面积根据几何概型的概率计算公式，得，所以，故选A9. (2019九江模拟)欧阳修的卖油翁中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为4 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔现随机向铜钱上滴一滴
17、油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为（ ）A B C D【答案】B【解析】将实际问题转化为数学中的几何概型问题，关键是要求出铜钱的面积和中间正方形孔的面积，然后代入几何概型计算公式进行求解由题意可得直径为4 cm的圆的面积为4，而边长为1 cm的正方形面积为111，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P，故选B10.（2019青岛一模）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较
18、小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A1 B. C. D.【答案】A【解析】设小正方形的边长为x，由于sin ，cos ，即，则x1，故飞镖落在小正方形内的概率是P1，故选A.11（2019大连模拟）中国最早的天文学和数学著作周脾算经里提到了七衡，即七个等距的同心圆，七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡、次三衡，下图中的七衡图中，若内一衡的直径和衡间距都是1，若在七衡图内任取一点，这点属于次三衡与次四衡之间的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意分别求出次七衡内的面积与次三衡与次四衡之间的面积，再由测度比是
19、面积比得答案由题意，次七衡内的面积为次三衡与次四衡之间的面积为在七衡图内任取一点，这点属于次三衡与次四衡之间的概率为故选：12（2019邵阳模拟）谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢尔宾斯基三角形）在如图第5个大正三角形中随机取点，则落在白色区域的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据几何概型的概率公式，用面积比可得不妨设第一个三角形的面积为1，则第二个图中黑色
20、部分面积为，第3个图中黑色部分面积为，第4个图中黑色部分面积为，第5个图中黑色部分面积为，则在第5个大正三角形中随机取点，落在白色区域的概率为故选：13（2019南昌模拟）“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参
21、考数据A3.1419B3.1417C3.1415D3.1413【答案】A【解析】由几何概型中的面积型可得：，所以，又，所以，故选：14（2019滨州市二模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设AD=2BD，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A17B14C13D413【答案】A【解析】设B
22、D=x，根据余弦定理表示出BC，分别求得SABC,SDEF，根据几何概型中概率计算公式可求设BD=x，因为ABC是由3个全等的三角形与中间的等边三角形构成所以AD=2x，ADB=120 由余弦定理可知AB2=AD2+BD2-2ADBDcos120 代入可得AB2=2x2+x2-22xxcos120 化简得AB2=7x2由三角形面积公式可得SABC=34AB2=73x24 同理SDEF=34BD2=3x24所以由几何概型面积类型的概率可得SDEFSABC=3x2473x24=17，所以选A15.（2019潍坊市联考）四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.
23、其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1,2,3,4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字1，2,3,4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A B C D【答案】C16（2019长春模拟）踢建子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动某单位组织踢
24、毽子比賽，把20人平均分成甲、乙两组，并把毎人在1分钟内踢毽子的数目用茎叶图记录如下（其中中间的数字表示十位数，两侧的数字表示个位数）则下列判断正确的是（ ）A甲组中位数大，乙组方差大B甲组方差大，乙组极差大C甲组平均数大，乙组方差大D甲组极差大，乙组中位数大【答案】B【解析】依题意，甲的中位数为，乙的中位数为，甲的平均数为，乙的平均数为：，甲的极差为：，乙的极差为：从茎叶图看，乙更集中，甲更分散，故甲的方差更大，故选：17（2019重庆二模）重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉据统计，奉
25、节脐橙的果实横径（单位：服从正态分布，则果实横径在，的概率为（ ）附：若，则，；A0.6826B0.8413C0.8185D0.9544【答案】C【解析】由题意，则，则果实横径在，的概率为0.8185故选：18（2019长春二模）19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够象圆一样当作轮子用，并将其命名为勒洛三角形，这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图所示，现从图中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】设圆半径为，因为阴影部分面积为，勒洛三角形的面积为，若从勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影
26、部分的概率为故选：19（2019长沙三模）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，的长等于其外接球的直径，因为，所以，所以，又平面，所以，由几何概型中的体积型可得：，故选：20. 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈= 10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率=3），则该圆柱形
27、容器能放米_斛【答案】270021（2019山西省考前适应性训练）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从这个数中随机抽取个数，则这三个数为勾股数的概率为 【答案】【解析】先计算15个数中任意抽取3个数的基本事件个数，再计算满足勾股数的所有可能，代入公式，即可求解。从这15个数中随机抽取3个整数所有基本事件个数为，其中为勾股数为共4个，故概率为，故选C.22（2019正定二模）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一
28、可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为 【答案】【解析】依题意，10以内的素数共有4个，从中选两个共包含个基本事件，而10以内的孪生素数有，两对，包含2个基本事件，所以从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率23（2019烟台二模）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是_【答案】【解析】三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、
29、2B2、3B3、9B9，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A，共有91090个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2、4B4、6B6、8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A，共有41040个，三位数的回文数中，偶数的概率P.24（2019大连质检）生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率为 【答案】【解析】
30、六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，基本事件总数，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来包含的基本事件个数，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率25（2019武汉联考）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”如图，矩形是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分在矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为 【答案】【解析】设最大正方形的边长为，则正方形的面积，其内部扇形的面积，其面积之比为，其它以下图形的面积之比同理可得也是，由几何概型的概率求解公式可得，矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为，【精品文档】第 13 页
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