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1、,第七章 应力状态与应变状态分析,材料力学,第七章 应力状态与应变状态分析,71 应力状态的概念 72 平面应力状态分析解析法 73 平面应力状态分析图解法,74 梁的主应力及其主应力迹线,75 三向应力状态研究应力圆法,76 复杂应力状态下的应力 - 应变关系 （广义虎克定律）,77 复杂应力状态下的变形比能,7 应力状态的概念,应力状态与应变状态,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,四、普遍状态下的应力表示,三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、平行面上，应力均
2、布； b、平行面上，应力相等。,二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。,x,y,z,s,x,sz,s,y,应力状态与应变状态,x,y,z,s,x,sz,s,y,应力状态与应变状态,五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。,六、原始单元体（已知单元体）：,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力状
3、态与应变状态,七、主单元体、主面、主应力：,主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。,主面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。,主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,应力状态与应变状态,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。,二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。,应力状态与应变状态,三向应力状态（ ThreeDim
4、ensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。,72 平面应力状态分析解析法,应力状态与应变状态,规定： 截面外法线同向为正； t a绕研究对象顺时针转为正； a逆时针为正。,图1,设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：,一、任意斜截面上的应力,应力状态与应变状态,图1,应力状态与应变状态,考虑剪应力互等和三角变换，得：,同理：,二、极值应力,应力状态与应变状态,在剪应力相对的项限内， 且偏向于x 及y大的一侧。,应力状态与应变状态,例2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,应力状态与应变状态,O,破坏分析,应力状态与应变
5、状态,铸铁,73 平面应力状态分析图解法,对上述方程消去参数（2），得：,一、应力圆（ Stress Circle）,应力状态与应变状态,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与sa 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,三、单元体与应力圆的对应关系,四、在应力圆上标出极值应力,应力状态与应变状态,例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标
6、系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,应力状态与应变状态,s1,s2,在坐标系内画出点,应力状态与应变状态,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,解法2解析法：分析建立坐标系如图,应力状态与应变状态,74 梁的主应力及其主应力迹线,应力状态与应变状态,如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。,单元体：,应力状态与应变状态,1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a0,s,t,A1,A2,D2,D1,C,O,s,A2,D2,D1,C,A1,O,t,2a0,s,t
7、,D2,D1,C,D1,O,2a0= 90,s,D2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,s,t,A2,D2,D1,C,A1,O,主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。,应力状态与应变状态,x,y,主应力迹线的画法：,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,应力状态与应变状态,75 三向应力状态研究应力圆法,应力状态与应变状态,1、空间应力状态,2、三向应力分析,弹性理论证明，图a单元体内任意一点任
8、意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,整个单元体内的最大剪应力为：,应力状态与应变状态,例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）,解：由单元体图知：y z面为主面,建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:,应力状态与应变状态,50,40,30,A,B,C,76 复杂应力状态下的应力 - 应变关系 （广义虎克定律）,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,应力状态与应变状态,三、复杂状态下的应力 - 应变关系,依叠加原理,得:,应力状态与应变状态,sz,sy,sx,主应力 - 主应变关系,四、平面状态下的应力-应变关系:,方向一致,应力状态与
9、应变状态,主应力与主应变方向一致?,应力状态与应变状态,五、体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,应力状态与应变状态,例5 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,例6 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210
10、GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。,应力状态与应变状态,s1,sm,p,O,图a,1、轴向应力:(longitudinal stress),解：容器的环向和纵向应力表达式,用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程,应力状态与应变状态,用纵截面将容器截开，受力如图c所示,2、环向应力：(hoop stress),3、求内压（以应力应变关系求之）,应力状态与应变状态,77 复杂应力状态下的变形比能,应力状态与应变状态,称为形状改变比能或歪形能。,应力状态与应变状态,例7 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,纯剪单元体的比能为：,纯剪单元体比能的主应力表示为：,应力状态与应变状态,本章结束,