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1、重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以及精度评定等内容。 难点：水准网、测角网、导线网、GPS网间接平差时误差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。 要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理并能推导全部的公式；能熟练地列出水准网平差误差方程，以及参数的非线性函数的权函数式；并求出参数平差值、单位权中误差和参数函数中误差。,第七章 间接平差,第一节 间接平差原理,以P1、P2点平差后的高程为参数:,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,一、基础方程及其解,间接平差函数模型：,间接平差随机模型：,按最小二乘原理， 则有：,以上两式称为间接平差的基础方程,根据基础方程可
2、得：,则：,间接平差的法方程,当P为对角阵时，则有纯量形式：,例由高程已知的水准点A，B，C和D向待定点P作水准测 量，得观测值及线路长度如下： h1=+3.476m,S1=1km,HA=3.520m,h2=+1.328m,S2=2km,HB=5.671m， h3=+2.198m,S3=2km,HC=4.818m,h4=+3.234m,S4=1km,HD= 3.768m ， 试按间接平差法求P点的高差平差值。 解： t1，选取P点的高程平差值为参数 （1）列误差方程,取参数的近似值,得误差方程为：,（2）组成法方程：,取1km的观测高差为单位权观测，则可得：,（4）计算改正数,（5）计算平差值
3、,法方程,（3）解法方程：,一、确定未知数的个数,第二节 误差方程,要确定平差问题中未知数的个数； 选择哪些量作为未知数； 要考虑怎样列出平差值方程； 如何选取未知救的近似值； 如何写出误差方程。,未知数的个数等于必要观测数,二、参数的选择 参数选择的原则：足数 独立 最简,采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量作为未知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据实际需要或是否便于计算而定。,如果选取的t个参数中有下列函数关系,则在这t个参数中，必有一个可以表达成其余的函数，因而就不是互为独立的自由变量，此时，应该从中剔除一个参数，另选取一个独立的参数代替。,例如 教材例7-1中必要观测
4、为3，可以选择以下几组量作为未知数。,但是不能选择以下的任一组未知数：,例如 图中可以选择以下几组量作为未知数。,但是不能选择以下的一组未知数：,三、平差值方程的列出,如果误差方程中常数项的有效数字位数较多时，则由它们组成的法方程常数项的数字位数也就较多，这给后续的计算增加了困难。此时，为了简化计算工作，必须引进来知数的近似值。 参数的近似值一旦取定，不能再变动； 误差方程中常数项是有效数字较少的一个小的数值，为计算方便，应该用观测值相应的小单位表示。,例 在测站A上对B,C,D,E四个方向观测了六个角度,试按间接平差法列出误差方程。 解：必要观测为3 设,四、非线性误差方程线性化,非线性方程
5、,用级数展开并去掉高次项得：,五、水准网函数模型,（一）水准网中选择参数的数量 有已知点，等于待定点的个数； 无已知点，等于点的总数减一（设定某一待定点的高程为零）。,（二）参数选择的方法 选择待定点的平差后高程作为参数。,（三）水准网误差方程的一般形式 设已j,k点的平差后高程为参数,例 有水准网如图。A，B为已知水淮点，且有HA10.000 m，HB12.000 m，各段观测高差及距离见下表，P1、P2、P3为待定点。试列出平差该水准网时的误差方程式。,解：t=3,选择P1、P2、P3的平差后高程为参数,可以列出8个误差方程,例 有水准网如图。各段观测高差及距离见下表，试列出平差该水准网时
6、的误差方程式。,解：t=3,选择A、B、C的平差后高程为参数 令D点的高程等于零。,可以列出6个误差方程,六、测角网坐标平差误差方程,近似坐标方位角的改正数为,（一）选择参数的数量 参数数量=2 P ，P待定点点数,（二）参数选择的方法 选择待定点的的纵、横坐标作为参数,（三）误差方程的一般形式 设j,k两点的近似坐标改正数为：,用级数展开得：,同理得：,上式称为坐标方位角改正数方程,1.若 j为已知点，则 上式为：,若k为已知点，则 上式为：,2.若 j，k为已知点，则,3. 同一边正反坐标方位角改正数相等。,（四）对于角Li,对于角度观测的三角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为未知数时，
7、列误差方程的步骤为: 1. 计算各待定点的近似坐标 、 ；。 2. 由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角 和近似边长 ； 3. 列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数； 4. 列各观测角出误差方程式，算出误差方程的系数和常数项。,第三节 精度评定,一、单位权方差的估值公式,当知道单位权方差和某个量的权，可以用下式计算该量的方差,由于观测值有限，只能得到单位权方差的估值，利用下式计算,计算,二、协因数阵的计算,三、参数函数的中误差,设间接平差中有 t 个参数，参数的函数为,全微分后得：,例 如图所示，A、B为已知水准点，高程分别为HA、HB，设为无误差，各观测的
8、路线长度分别为,由PiC/Si（C=4km）确定各观测高差的权,试求P1点和P2点平差高程的协因数。 解：设P1点和P2点平差高程为参数,组成法方程,其中,P1、P2点平差高程的协因数分别为： P1与P2点平差高程的协因数为：,例 在下图所示的水准网中，各路线的观测高差和路线长度如下：,已知H A5.000m，H B3.953m，H C7.650m， 试求：（1）待定点P1，P 2，P 3的最或是高程及其中误差； （2）1公里观测高差的中误差； （3）P3点到P2点间的最或是高差及其中误差；,解：（1）本题t3，设待定点P1，P 2，P 3点的最或是高程为未知数。,选取未知数的近似值,则可列出
9、观测值方程， 将已知点高程及未知数的近似值代入观测值方程后的误差方程：,由PiC/Si（C=2km）确定各观测高差的权,列出误差方程：,解算法方程得：,将 代入法方程检核得：1式0.0000，2式+0.0002，2式-0.0001,由 算得未知数,（2）由公式计算得： 单位权中误差：,每公里观测高差中误差,（3）P3点到P2点间的高差最或是值的未知函数为,大家认真看一看教材P124例题78,如果要求观测值平差值的中误差,第五节 间接平差特例直接平差,一、不同精度直接平差,设对某个量独立地进行了n次不同精度的观测，得观测值Li，相应的权为Pi 。,设定一个未知数 。有误差方差,组成法方程,直接平
10、差中平差值就是带权平均值,误差方程,法方程,单位权中误差,二、同精度直接平差,如果对某个量进行的n次同精度观测，令p1=p2=pn=1，得观测量的平差值,单位权中误差,例 由五个高程为零的已知高程点A、B、C、D、E向G点作水准测量，由此求得G点的五个观测高程及路线长度列于下表中，令10公里长的水准路线的观测高差为单位权观测值。试求 （1）G点高程的平差值及其中误差； （2）每公里观测高差的中误差。,解：设G点高程平差值为参数 （1）求G点平差值及中误差,令C=10km,（2）每公里观测高差的中误差,（1）基线向量的误差方程式,设网中固定点的点号为1，其坐标为（X,Y,Z），任意两点 i、j的
11、基线向量观测值为（ Xij, Yij, Zij ），相应的基线向量观测值的改正数为 ，X0、X0、Z0以及dX、dY、dZ分别为坐标近似值及其改正值，则不含固定点的基线向量观测方程为:,第七节 GPS网平差,将上式写成矩阵形式的误差方程为,将上式简写为：,含固定点的基线向量观测方程为,（2）法方程式的组成及解算,对于以上两种情况，法方程分别为：,总的法方程为：,简写为：,第八节 导线网间接平差,一、导线网间接平差函数模型,二、导线网间接平差随机模型,如果导线网中观测了n1个角度，n2个边长，则：,如果,则,而,角度的权是无量纲的，边长的权的单位是秒2/mm2。,平差前无法精确知道，一般采用仪器
12、出厂的标准精度或者是经验数据。,如已知测角精度,已知测边精度,本 章 小 结,一、 条件平差的主要公式,-条件平差的基础方程,间接平差的法方程,二、 误差方程,其中：,误差方程的个数等于观测值数量,参数的个数等于必要观测数 参数选择的原则：足数 独立 最简,（一）水准网,1. 水准网中选择参数的数量 有已知点，等于待定点的个数； 无已知点，等于点的总数减一（设定某一待定点的高程为零）。,2. 参数选择的方法 选择待定点的平差后高程作为参数。,3. 水准网误差方程的一般形式,(二)测角网坐标平差,1. 选择参数的数量 参数数量=2 P ，P待定点点数,2. 参数选择的方法 选择待定点的的纵、横坐标作为参数。,3. 误差方程的一般形式,（三）导线网坐标平差误差方程,1. 选择参数的数量 参数数量=2 P ，P待定点点数,2. 参数的选择 当观测值是角度时，选择待定点的的纵、横坐标。,3. 误差方程的一般形式,（二） 协因数阵的计算,三、精度评定,(一)单位权方差的估值公式,（三）平差值函数的中误差,