数学专业毕业论文-矩阵的特征值与特征向量的若干应用.doc

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1、 矩矩阵阵的的特特征征值值与与特特征征向向量量的的若若干干应应用用 Several applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix 专 业: 数学与应用数学 作 者: 指导老师: 学校 二一一 I 摘摘 要要 本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论, 在此理论基础上做了一定的推 广, 并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应 用. 关键词: 特征值; 特征向量 ; 矩阵; 递推关系 II Abstract This article describes some theories of eig

2、envalues and eigenvectors of the matrix , based on these theories we do some promotions, and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix through their propositions and nature. Keywords: eigenvalue; eigenvector; matrix; recursion relations 目 录 摘 要 .I ABSTRACT .II 0 引言 1 1

3、 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 1 2 矩阵特征值与特征向量的几个应用 5 2.1 特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 .5 2.1.1 命题的证明 5 2.1.2 命题的应用 7 2.2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用 .7 2.2.1 命题的证明 7 2.2.2 命题的应用 9 2.3 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 11 2.3.1 特征值与特征向量的基本性质 .11 2.3.2 性质的应用 .12 3 小结 .15 参考文献 .16 第 1 页, 共 16 页 0 引言 为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩 阵具有最简单的形式

4、, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性 变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带 来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征 值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨. (见参考文献1 2 4) 1 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表 示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组 基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择 基之后, 一个线性

5、变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特 征值和特征向量的概念, 它们对于线性变化的研究具有基本的重要性 定义 1.1 设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维APnPn 列向量,使得 n xP Axx 则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量AxA 现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设是数域上维线性空间, VPn 是它们的一组基, 线性变换就是在这组基下的矩阵是. 设是特征值， 12 , n /AA 0 它的一个特征向量在下的坐标是. 则由, 这说明特 12 , n n xxx 00201 ,Axx 征向量的坐标满足齐次次方程组 010

6、20 , n xxx . , , 02211 202222121 101212111 nnnnnn nn nn xxaxaxa xxaxaxa xxaxaxa 即 第 2 页, 共 16 页 (1.1) . 0 , 0 , 0 02211 22220121 12121110 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 由于, 所以它的坐标不全为零, 即齐次线性方程组有非零解. 0 n xxx 00201 , 从而, 齐次线性方程组（1.1）式, 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零, 即 0 021 222021 112110 0 nnnn n n aaa aaa

7、aaa AE 我们引入以下定义. 定义 1.2 设是数域上一级矩阵, 是一个文字. 矩阵的行列式APnAE ， nnnn n n aaa aaa aaa AE 21 22221 11211 称为的特征多项式, 这是数域上的一个次多项式.AP 上面的分析说明, 如果是线性变换的特征值, 那么一定是矩阵的特征多 0 /A 0 A 项式的一个根; 反过来, 如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根, 即 0 AP , 那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解. 这时，如果 0 0EA 是方程组（1.1）式的一个非零解, 那么非零解向量 01020 , n xxx . 01 10220nn xxx 满足

8、（1.1）式, 即是线性变换的一个特征值, 就是属于特征值的一个特征 0 /A 0 向量 因此, 确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：/A 1、在线性空间中取一组基, 写出在这组基下的矩阵;V 12 , n /AA 2、求出的特征多项式在数域中全部的根, 它们也就是线性变换的AEAP/A 第 3 页, 共 16 页 全部特征值; 3、把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组 （1.1）式，求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量 在基下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特 12 , n

9、 征向量 矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值, 而相应的线性方程组（1.1）式AA 的解也就称为的属于这个特征值的特征向量A 例 1 设线性变换在基，下的矩阵是/A 1 2 3 122 212 221 A ， 求的特征值与特征向量/A 解 因为特征多项式为 2 122 21215 221 EA , 所以特征值-1（二重）和 5 把特征值-1 代入齐次方程组 123 123 123 1220 2120 221 20 xxx xxx xxx 得到 123 123 123 2220 2220 2220 xxx xxx xxx 它的基础解系是 ， 1 0 1 0 1 1 因此，属于-1 的两个线性

10、无关的特征向量就是 第 4 页, 共 16 页 ， 113 223 而属于1 的全部特征向量就是，取遍数域中不全为零的全部数对. 1122 kk 1 k 2 kP 再用特征值 5 代入, 得到 123 123 123 4220 2420 2240 xxx xxx xxx ， 它的基础解系是 1 1 1 因此, 属于 5 的一个线性无关的特征向量就是 ， 3123 而属于 5 的全部特征向量就是, 是数域中任意不等于零的数 3 kkP 例 2 在空间中, 线性变换 n P x xfxf 在基下的矩阵是 21 1, , 2!1 ! n xx x n . 0000 1000 0100 0010 D

11、的特征多项式是D . 000 1000 010 001 n DE 因此的特征值只有 0, 通过解相应的齐次线性方程组知道, 属于特征值 0 的线性无D 第 5 页, 共 16 页 关的特征向量组只能是任一非零常数. 这表明微商为零的多项式只能是零或非零常 数(见参考文献1) 2 矩阵特征值与特征向量的几个应用 2.1 特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 已知矩阵的特征值与特征向量确定 3 阶对称矩阵的公式 设 3 阶对称矩阵的特征值为, 且对应的特征向量为, 则A 123 1 p . 32 21 Epp pp A T T 本文给出推广到阶对称矩阵的一类计算公式.n 2.1.1 命题的证明

12、 命题 1 设阶对称矩阵的特征值为其中nA k , 21 ， 对应的特征向量为，.则可取kn i j kji, 2 , 1, i i p1,2,1ik ， nk k i T ii i T i ki Epp pp A 1 1 且为的重特征值A1nk 证明 不妨设 , , nk k i T ii i T i ki Epp pp B 1 1 1 1 k i T ii i T i ki pp pp C 12 ,1,2,1 T ik iiiini T ii paaamik p p 因为两两正交, 121 , k p pp 1 1 () k T ik jiijknjjkjkjjj T i ii Bpp p

13、 pE pppp p p ， 所以为的特征向量, 为的对应于的特征向量, 且 j B j pB j 1,2,1jk 因为 1 1 k T ik knii T i ii BEp pC p p 第 6 页, 共 16 页 1212 (,.,)(,.,), T ik iiiiiiiniiiiiiiini T ii p pm p aaama p ma pma p p p 1 1 1 1 1 1 21 1 1 , k i k i k i iiniiiiiii k i T ii i T i ki pampampampp pp C 即矩阵的列向量组可由向量组线性表示, 故矩阵的秩C 121 , k p pp

14、 C , . nkCR10 nkE BC 所以为的特征值 k B 又可证为的重特征值, 设, 即 k B1nk 1 1 1,2, k iijij i ma pajn . , , 111222111 1121222211212 1111221211111 knkknnn kkk kkk pampampama pampampama pampampama . nkkk n n k kn aaa aaa aaa m m m pppaaa 11211 22221 11211 1 2 1 12121 , 因为, 秩, 故01,2,1 i mik 121 ,1 k R p ppk 1, 21 kaaaR n

15、 不妨设是向量组的极大线性无关组, 则有 121 , k a aa 12 , n a aa 11,2211 kkjjjj abababankkj, 1, 若,则有 12 , nn Ee ee 111 1122 111 1122 () ,(),.,() () ,(),.,() kkk niiikiiikiinikn iii kknkn BEma pema pema pe ae aeae 做第三种初等变换将第 j 列化为 jkj ae 1122,11 1 12 2,11 ,1, jkjkj kkkkj kjjj kkj bebebee b eb ebeejk kn 令 第 7 页, 共 16 页

16、1,2,1 ikii aeik 1 12 2.11 .,(,1,., ) jjj kkjj b eb ebeejk kn nkkk kn k nknkkn eaeaeaEB , , 1121 1 2211 而行列式是的最高次幂为的多项式为 1211 , kkkn 1k 121 , k 的特征值,B 1 1 1 k n k nki i BE 综上可知命题成立 （参考文献2 4） 2.1.2 命题的应用 例 3 设 3 阶对称矩阵的特征值, ,，对应于的,的特征向1 1 1 2 0 3 1 2 量依次为,求矩阵 TT pp2, 1 , 2,2 , 2 , 1 21 A 解 由公式 =. 3322

17、22 32 11 11 31 Epp pp pp pp A T T T T 022 210 201 3 1 例 4 设 3 阶对称矩阵的特征值，, 对应于的特征向量为A6 1 3 32 1 求矩阵 1 1,1,1 T p A 解 由公式 411 141 114 3211 11 21 Epp pp A T T 综上, 运用该命题根据已知条件, 可简捷快速地求出矩阵, 给我们带来极大的方便 2.2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用 用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论 （见参考文献14 15） 2.2.1 命题的证明 第 8 页, 共 16 页 命题 2 设阶线性循环数列满足递推关系k

18、 n x ， knknnn xaxaxax 2211 , 2, 1kkn 其线性方程组为 . , , , 11 22 11 2211 knkn nn nn knknnn xx xx xx xaxaxax 可表为矩阵形式 kn n n nkk kn n n n x x x xaaaa x x x x 3 2 1121 1 2 1 0100 0010 0001 （2.1） 令 ， ， kn n n n kn x x x x a 3 2 1 0100 0010 0001 121 kk aaaa A 则（2.1）式可写成 ， 1n kn k aAa （2.2） 由（2.2）式递推得 ， 11 2 1

19、aAaAa kn knkn 其中, 于是求通项, 就归结为求, 也就是求. T kk xxxxa 121 , n x 1n k x n k A 如果可对角化, 即存在可逆矩阵, 使得, 则, 由于AP 1 P APB 1n kn k APBP 第 9 页, 共 16 页 100 0010 001 121 kk aaaa AE 从第一列开始每一列乘以入加到后一列上, 可得 )() 1( 0100 0010 0001 1 1 1 11 2 1 1 21 2 1 k kkk k kk k kk aa aaaaaaa 若是的一重特征值, 显然有, 则线性齐次方程的基A1REAk0EA A 础解系中只含

20、有一个解向量. 因此当有个特征值时, 这个特征值对应A k , 21 k 的特征向量分别, 以这个特征向量为列构成的方阵记为, 则是可逆 k PPP, 21 kPP 的, 并且, 其中 1 P APB k B 00 00 00 2 1 2.2.2 命题的应用 例 6 计算阶行列式n 2200000 1200000 0021210 0002121 0000212 D 解 将按第一行展开得, n D , 11213 22 nn DDMM 其中与分别是元素与的余子式, 再将它们分别按第一列展开得: 12 M 13 M 12 13 第 10 页, 共 16 页 , 123 22 nnnn DDDD 则

21、是阶线性循环数列. 将方程组 n D 123 11 22 22 nnnn nn nn DDDD DD DD 表示成矩阵形式为： 1 12 23 212 100 010 nn nn nn DD DD DD 令 ， 010 001 212 A 由上式递推得： 1 2 3 3 4 3 2 2 3 2 1 2 1 D D D A D D D A D D D A D D D n n n n n n n n n n （2.3） 由，解的特征值为0EA ，1 1 1 2 2 3 再由特征方程, 解得对应的特征值, , .的特征向量分01,2,3EA XiA 1 2 3 别为 ， 1 1 1 1 P 1 1

22、1 2 P 1 2 4 3 P 令 ， 123 114 112 111 PPPP 则 第 11 页, 共 16 页 11 336100 1 132,010 6 202002 PAPP 2 33 2 3 1 22 1 2 333 1 3 3 1 3 3 2126133213 2126133213 2126133213 6 1 200 010 001 200 010 001 n nn n n n nn n n n nn n n n n n n PPPPA 由（2.3）式可得： ， 1 3 2 3 3 3 2126133213 6 1 DDDD n nn n n n 将代入上式得：10, 5, 2

23、321 DDD . n D 2 3 2 3 1 1 6 1 2 1 n n 2.3 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 设为阶方阵, 如数与维非零列向量使关系式成立, 则称数为AnnxAxx 方阵的特征值, 称为的对应于的特征向量; 称为特征多项式, AxA fEA 称为特征方程 （见参考文献3 10） 0fEA 2.3.1 特征值与特征向量的基本性质 性质 1 设为阶方阵, 为的个特征值, 则An 12 , n An n A 21 性质 2 方阵可逆的个特征值都不为零AAn 性质 3 设为方阵的特征值, 为的多项式, 则 为的特征A AA A 值 性质 4 不为方阵的特征值A0AE 性质 5

24、 (凯莱哈密顿定理) 设阶方阵的特征多项式为，则 nA AEf 1 11 0 nn nn fAAa AaAa E 性质 6 设阶方阵的个特征值为, 且为对应的个线性nAn 12 , n 12 , n p ppn 第 12 页, 共 16 页 无关的特征向量, 记, 则 12 , n Pp pp . n APP 2 1 1 性质 7 设为阶实对称阵, 是它的个特征值, 则Ann (1) 当且仅当都大于零时, 正定； 12 , n A (2) 当且仅当都小于零时, 负定； 12 , n A (3) 当且仅当都非负, 但至少一个等于零时, 是半正定； 12 , n A (4) 当且仅当都非正, 但至

25、少一个等于零时, 是半负定； 12 , n A (5) 当且仅当中既有正数, 有又负数时, 是不定的 12 , n A 2.3.2 性质的应用 (1) 求方阵的行列式 以及 的多项式 的行列式AAA A A 例 7 已知三阶矩阵的特征值为 1, 1, 2, 设 , 求: ;A 32 5AAAA ; . A5AE 解 由性质 1 可得 . 1122A 因, 由性质 3 可知的特征值为 32 5AAA A , , 14 16 21 故 . 24211 A 的特征多项式为 A 112fEA 令, 得 5 ， 555 1 5 1 5272fEA 第 13 页, 共 16 页 故 . 3 51572AE

26、EA (2) 判断方阵及的可逆性.AAKE 例 8 设 , 284 014 013 A 问当为何值时, 可逆.kAkE 解 因 , 2 310 41021 482 fEA 故 ，2 1 1 32 为的三个特征值, 由性质 4 可知, 当时, 可逆A1, 2k AkE (3) 求方阵, 的逆阵及的次幂.AA 1 AAk 例 9 设 ， 102 011 010 A 求; ; . 3 A 1 A 5 A 解 ， 3 102 01121 01 fEA 由性质 5 有 , 3 20fAAAE 故 . 3 104 2032 021 AAE 第 14 页, 共 16 页 由, 可知 0 不是的特征值, 由性

27、质 2 知可逆. 而 01fAA , 211211133 2222AEAAEAEAAAAAEAA 故 . 1 122 001 011 A 3532522 222 242AAEAAAAAEAAAE 故 . 5 126 085 053 A （4）求方阵的多项式.A A 例 10 设 , 102 011 010 A 计算. 8542 234AAAAAE 解 由于，而 3 21fEA ， 103724432 22458 qf 显然 . EAAAqAfAAAA103724432 22458 由性质 5 可知，所以 0fA . 2 34826 24371009561 06134 AAAE (5) 判断实对

28、称阵的正定性. 例 11 设阶实对称阵正定, 则存在矩阵, 使, 且也是正定矩阵.nAB 2 BAB 证明 因为实对称阵, 故存在正交矩阵, 使AP 第 15 页, 共 16 页 , 1 1 1 n P AP 其中为的个特征值. 因正定, 故有, 于是 1,2, i inAnA01,2, i in 111 111 1 11 11 n nn nn APPPPPP PP PP 令 , 1 1 n BPP 则有 , 2 AB 又因 , 1 1 2 n P BP 即与对角阵相似, 相似矩阵的特征值相同,故为的个特征值, 因B 2 1, , n Bn , 由性质 7 知正定.01,2, i inB 3

29、小结 本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解 题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便. 致谢致谢 本文是在 的指导和帮助下完成，在此向汪老师表示衷心的感谢! 第 16 页, 共 16 页 参考文献 1 大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数（第三版）M北京：高等教育出版社， 2003 2 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第 4 版) M . 北京:高等教育出版社,2003. 3 朱金寿,陈晓江,扬爱芳. 线性代数M . 华中理工大学出版社 1995. 4 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法J. 高等数学研究. 5 谢

30、国瑞. 线性代数及应用M. 北京:高等教育出版社,1999. 6 戴华. 矩阵特征值反问题的若干进展J. 南京航空航天大学学报,1995. 7 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社. 8 陈文灯,黄先开.理工类数学复习指南M.北京:世界图书出版公司北京公司,2003. 9 朱凤娟特征值与特征向量逆问题的研究J滨州学院学报 2007.6 . 10 英S.巴比特. 科技工作者用矩阵方法M .北京：化学工业出版社.1984.126-137. 11 蓝以中.高等代数简明教程（上册）M .北京大学出版社. 12 tephen H.Friedbeng 等.Linear Algebra(4th Edition) M.Prentice Hall/Pearson，1998. 13 Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975. 14 奚传志，矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用J，枣庄师专学报，1991（2）. 15 熊全淹，线性代数M.北京；高等教育出版社，1987.4.