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1、2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报
2、名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2007 年 9 月 23 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：中国人口增长预测摘要 人口的增长状况对中国的可持续发展起着至关重要的作用。所以建立这样一个中国人口增长预测的模型很有现实意义。通过对
3、中国人口结构、类型等因素的分析，首先确定出影响中国人口增长的主要因素是出生率、死亡率、老龄化进程、出生人口性别比以及乡村人口城镇化，这些变量是我们建立模型时一定要考虑到的。由于在建立模型时很难一次性就把这些变量统统考虑进去，所以我们决定先建立小模型，然后一步一步深化，得到最终比较完善的推算人口增长模型。模型一是由两个小模型构成的，第一个小模型主要考虑了出生率和死亡率对人口的影响，并假定其是一个连续的相对静态的函数，由此出发对人口做出了分析预测，但考虑到出生率又受到年龄分布的影响，于是我们在小模型一中又做深一步的考虑，即建立第二个小模型，来考虑性别比函数对出生率和死亡率进行动态上的分析。模型二中
4、我们主要对人口在不同年龄段随时间的整体变化做了讨论，其中引进了存活率，女性的生育率，生育模式等因素，运用了数学中矩阵的思想，对未来人口数量做了比较准确的故测。模型三鉴于以上两种模型考虑的不全面性，进而对人口的影响因素做了比较全面的假设。这个假设最终是把人口数做成时间的函数，利用一个比较复杂的函数关系式，比较准确的表示出了时间与人口的关系。通过以上三个模型的建立，可以对中国人口增长的中短期和长期趋势进行预测。关键字 生育率 存活率 老年化程度 性别比 迁移率一、 问题的重述和分析(一) 问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国
5、人口做出分析和预测。(二) 问题分析通过对中国人口发展的一些新特点，我们可以抽象出影响中国人口增长的主要因素，即：老龄化程度加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化。而这些因素又分别作用于出生率与死亡率。它们之间的关系可简化为：出生率死亡率出生人口性别比例持续升高乡村人口城市化老龄化程度加速升高降低 升高出生率和死亡率是直接作用于人口增长的最基本因素。只要我们找出这些因素与时间的函数关系，就可以找出未来某年人口数目与时间的函数关系。二、 模型建立与求解模型一:此模型的建立是基于出生率与死亡率这两个最基本的因素。从最理想的状态过渡到女性比例对人口增长的影响，方便我们在以后的模型中讨论人口
6、性别比的影响。1. 简单模型一1) 模型假设：a) 假定城市和乡镇的人口，不存在相互的迁入和迁出。b) 假定人口的增长，只与出生率和死亡率有关，并且这里的死亡率为自然死亡率。2) 模型建立：记时刻t，人口的出生率为f,人口的死亡率为，所以人口的增长率为（f-）。我们可以通过简单的拟合看出，在短期人口的增长情况。我们可以根据题目中附录所给的数据，对2001到2005年的人口进行观察和分析。由此，我们有：3) 模型求解： 先将各个年份的男女比例和死亡率，抽出来观察分析，得出出生率和增长率：城时间男性比率死亡率女性比率死亡率20050.466.380.46.0820040.474.270.410.6
7、20030.43.250.367.3120020.4410.760.3912.5320010.475.920.425.2镇时间男性比率死亡率女性比率死亡率20050.569.10.4810.7920040.592.580.464.220030.558.60.4816.5920020.564.770.4612.9220010.596.950.5210.45乡时间男性比率死亡率女性比率死亡率20050.6513.970.5418.5520040.6317.120.5121.3520030.6620.190.5520.0120020.6722.680.5726.4220010.6722.590.58
8、33.35由上表格，我们将得出在2001到2005年的增长率：图形如下：（图形一）2. 简单模型二1) 模型假设：a) t时刻小于r的人口分布： R(r,t)b) 人口密度： p(r,t)c) 死亡率：u(r,t)(假设一段时间内人口的死亡率不变，即为u(r)d) 最高年龄：rm e) 女性性别比函数为：k（r，t）f) 婴儿出生率：f(t)g) 平均每人单位时间的生育数：b(r,t)(假设该年龄段的女性生育数为常 数，即为:b)h) 育龄区间：r1,r2i) 人口总数：N(t)2) 模型建立：人口密度定义为：则p(r,t)dr表示t时刻年龄在r，r+dr内的人数。t时刻r，r+dr内单位时间
9、死亡人数为： u（r）*p（r，t）dr考虑时刻t年龄r,r+dr内的人到时刻t+dt的情况。则他们中活着那部分人的年龄变为r+dr，r+dr+dr1,这里dr1=dt。于是有下面公式：p(r+dr1,t+dt)-p(r,t+)dr+p(r,t+)-p(r,t)dr=-u(t)*p(r,t)drdt 即是： 其中: ； ；而对于婴儿出生率我们建立函数如下：建立以上函数以后我们很容易得出人口分布函数为：进而得出人口总数函数为：3) 模型评价： 模型一只能让我们粗糙的计算出十分短的时期内，人口数量的变化趋势。并不是本题需要的结论。但我们可以通过分析其它作用因素来发展模型，也就是说在原有函数关系式上
10、增加变量，考虑更多影响因素，从而完善模型。模型二:1. 模型假设：a) 城镇和乡村向城市迁移为0。b) 此模型中人口增长与死亡率、妇女的生育率有关。2. 模型建立：我们要找到描述人口变化的方程。定义为第年岁的人数，为第年年龄为的人的死亡率，为第年年龄为的妇女生的孩子数与该年龄妇女数的比例，即i岁的妇女的生育率。则当时，。为了全面的解答此模型，我们先对我国人口男女比例，进行简单的计算，在此，我们以2005年的数据作为依据，对我国的男女比例进行分析。对0岁到90岁以上的男女比例，在Excel中做图，如下： 由此，我们看上面的图形，可以得出男女的比例就在1的附近摆动，我们在这里忽略男女比例的波动，对
11、模型的影响，于是，我们就近似的认为男女比例为1 ，则：用矩阵来表示上述关系，得到其中，我国60岁以上老年人口已达1.43亿，占总人口的11%。到2020年，60岁以上老年人口将达到2.34亿人，比重从2000年的9.9%增长到16.0%；65岁以上老年人口将达到1.64亿人，比重从2000年的6.7%增长到11.2%。预计本世纪40年代后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.3亿人，比重达30%；65岁以上老年人口达3.2亿多人，比重达22%。届时每34人中就有1名老年人，参考下面两个图：由于90岁以上的老人所占比重很小，且对于人口的增长已经没有影响（他们不可能再生育），在本文的模型
12、中，常常只考虑90岁以下的人的情况。其实，的维度只要大于一定值就可以了，在问题处理过程中是可以变化的。3. 模型求解LESLIE矩阵本身是普适的人口动力学方程，而不同历史，社会条件下的人口发展模式特点是由其中的参量来描述的，也就是和。它们都是随时间变化的量，是诸多因素共同作用的结果。我们不可能找到这些参量每年的精确数值，因此作一些假设和近似是必要的。1) 生育率如第一部分数据分析中分析的那样,我们把某个时点的妇女的生育年龄分布同时看作一个妇女一生中生育孩子数的分布.于是某个时点的综合生育率等于一个妇女一生中生育的孩子数。考察城市和人口的生育的年龄结构，我们发现两者有很大的不同。05年中国城市，
13、城镇和乡村妇女生育率年龄分布图二从图中， 我们发现乡村妇女的总和生育率明显高于城镇妇女， 城镇妇女的总和生育率明显高于城市妇女，同时乡村妇女生育高峰也比城镇妇女早一些，城镇妇女生育高峰也比城市妇女早一些，且计划生育政策及其执行情况也有很大的不同，所以本文中将把这两种情况分开讨论。即：知道了，我们可以用城乡人口比来得到、和。受到生理条件的限制，生育率关于年龄的相对分布应该是一个变化缓慢的量。我们假定在没有政策性变化时（如限制生育年龄，或允许多育），它是恒定的。于是如果知道某年的总和生育率，结合图一给出的2005年的分布，便可得到当年的具体分布：如果我们把总和生育率表示为,则而总和生育率是比较容易
14、获得的。2) 年龄别死亡率年龄别死亡率分布数据很少，事实上，我们只找到了2005年城市人口数据为例，于是只能先假定死亡率不变。即使在未来的很长一段时间内，只要没有医学上大的革命，这个量的变化将很小。因此，本文中把它当成常量处理。所用数据为题目所给的统计数据，如图所示：2005年中国城市男女年龄别死亡率分布图三：数据选自题目所给的附录中的相关数据从图中我们可以看出：无论男女，他们的死亡率都趋于一个定值。3) 2001年2005年的人口变化及假设的验证对于20012005年的人口数据，我们掌握的材料比较充分，如逐年的城市、城镇和乡村人数总和生育率，20012005年的人口年龄结构，历年城市、城镇和
15、乡村人口比例等。我们用2004年城市人口分布的数值作为初始条件，用上述模型推算至20005年城市人口的分布， 再和普查数据2005年城市人口分布的数值比较，以此检验我们的模型及相关假设。结果如以下图所示：7.0298 0.0031 0.0029 0.0028 0.0031 0.0032 0.0033 0.0036 0.0036 0.0036 0.0038 0.0041 0.0047 0.0048 0.0050 0.0052 0.0047 0.0045 0.0047 0.0054 0.0067 0.0054 0.0051 0.0053 0.0051 0.0051 0.0059 0.0059 0.
16、0065 0.0072 0.0074 0.0077 0.0080 0.0076 0.0077 0.0058 0.0066 0.0071 0.0080 0.0094 0.0060 0.0045 0.0060 0.0051 0.0066 0.0065 0.0061 0.0063 0.0059 0.0053 0.0051 0.0047 0.0044 0.0041 0.0035 0.0035 0.0033 0.0029 0.0028 0.0027 0.0029 0.0029 0.0029 0.0027 0.0029 0.0028 0.0028 0.0026 0.0024 0.0024 0.0021 0
17、.0020 0.0019 0.0016 0.0016 0.0013 0.0012 0.0011 0.0009 0.0008 0.0008 0.0007 0.0005 0.0004 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0001 0.0004用上述算法算出的城市男士090岁的人数，和题目中所给的城市男士各年龄阶段数据，共同做图，如下：图三：2002年城市男士两种数据年龄分布比较两条曲线，发现除了0岁的数据存在很大的反差外（我们可以将0岁的数据去掉，不加讨论），它们吻合的相当不错，尤其是10岁以后的曲线，差别非常小。由于这部分人口的发展只受死亡率的影响，说明我们
18、把作为常量处理是合理的。那么2005年以后的人口发展将如何考虑呢？ 我们从另一个方面来想，和上一阶段不同，如果某一时期的人口统计数据不够充分，尤其是总和生育率的数据的缺乏时，会使这一阶段的处理方法和上述的处理方法不同。对的情况仍可按刚才的方法处理，但对于，在没有总和生育率时，就不能得到，也就不能用LESLIE矩阵法了。在此，我们用第n年的出生率人口总数=第n+1年的0岁的人数去解。在对人口进行预测时，为了能使操作简便，且又不失准确性，我们在预测时，作了以下假定：a) 未来50年中国的人口出生率不变。b) 未来50年中国各年龄组的死亡率不变化。这种假定是合理的，因为在长期预测中，人口的出生率和死
19、亡率，将趋于一个稳定数，即达到一个平衡点。 基于这些假定，该模型采用了推算法来预测人口总量及分年龄的人口构成。其具体方法为：根据题目中所给的2005年的人口数据结果，按照每五岁一个年龄组，把090岁划分为18个年龄组，90岁以上划入最后一组，即：04岁为第一个年龄组，59岁为第二个年龄组，85岁以后为第十八组，并设各年龄组人口构成的初始人口列向量为 第5t年各年龄组人口构成的人口列向量为 称X（t）为人口状态向量。引进系数矩阵：将t阶段总人口数乘以t年的人口出生率 ，就得到t+1年0-5岁的人口数。将t阶段存活的全部新生儿划分到第t+1阶段的第一年龄组，并设各年龄组人口在五年期内的人口存活率为
20、B=b1,b2,b3,b18T。由于第t阶段k-1年龄组的人存活到第t+1阶段就是k年龄组的人（k=2，3，4，5，17），且第18组的老人五年后存活下来的仍然属于第18组。由此可得人口系统状态X（t）关于离散时间变量t（t=1，2，n，）的状态转移方程组7： k=1,2,.,17.以上方程可用矩阵形式表示为X（t+1）=MX（t） ， t=0，1，2，我们现在用题目中附录所给的数据，对未来的人口进行预测：利用计算机工具从将2005的数据记为初始人工向量X（0），应用方程不断进行迭代，就可得到2010年、2015、2050年中国人口向量X（1）、X（2）、的预测值，再对这些值分类统计，就可得到
21、中国人口老龄化的时间序列模型。其计算结果列表如下：年龄组20102015202020252030总 计1.34E+091.38E+091.41E+091.44E+091.46E+09048641771489418853921101059445493796399796598065774083846914867587738936996491645041101466742574804362358361665286520514891245341519897164066660256180267497834412418633901220241.25E+088943424466393093800150528
22、317881425291.02E+081.24E+088900153866071866796279183034935947101.02E+081.23E+08885089476570618335391.16E+08929743701.01E+081.23E+088792231540441.25E+081.15E+08921966561E+081.22E+0845491.07E+081.24E+081.14E+0891096908989318785054788931171.05E+081.22E+081.12E+0889530009555981774257767569541.02E+081.18
23、E+081.09E+086064589742957830116573496956979148581.13E+086569412359645477049772719712682579559093530370743428793036505422484872896437739060427481757924922119277529852954784439246084521076878084148452811787326019903456211906662814589985896535503849333810225716113872401212368390岁以上252479136600204863544
24、5982539681934465以上人口1.24E+081.49E+081.86E+082.1E+082.51E+08所占百分比9.30%10.83%13.16%14.60%中国人口预测结果表续表： 年龄组2035204020452050总 计1.48E+091.48E+091.48E+091.47E+090 497865925987822789911097698920033599353204394954557958436499616257010149139336393275183946937919558044115198893756991201639930795119449514220248
25、606747288657857909148069278677225298277637485651055882289079047493630347918720882318238851770088774059335396527068778662360817726378461246040448718686164724709780043638108862445491.2E+088614687163952654770739055054972302151.18E+088466511562852646555987105834945975441.15E+088237266560641.04E+08834063
26、01905798261.1E+0865691.05E+0896791414774609448412312670748050331093280289856876156857471475794891059265160164755019756935639180843736978535076942467305585414733885891610293721380141200683512673566190岁以上73826799323729122618611251932165岁以上人口2.96E+083.21E+083.18E+083.15E+08所占百分比0.20020.21670.21490.2147
27、根据预测结果，从2005年起，中国65岁以上人口占总人口比重将大于8%，到2025-2030年达到现在西方发达国家水平，大约占人口比重为15%，2050年将达到20%以上！4. 模型评价此模型从种群的角度，即从人的分年龄阶段进行了考虑，并且运用了矩阵的算法，考虑了生育模式，存活率的影响，最终应用递推关系求出未来的人口，该 模型的优点是计算结果与实际较吻合，其缺点是计算较为繁琐，计算量较大，另外对有些因素还未考虑全面。鉴于此，我们考虑多方面的影响因素作出了下面的推广模型。(三) 模型三1.模型假设：该模型采用同批人分要素预测法，其基本环节是人口年龄推算，即从某一时点的各年龄(或年龄组)人数推算一
28、年（或数年）后长了一岁(或几岁)的人数，假设分年龄死亡率比较稳定，相应的存活率（即岁的人活到+1岁的比例），也基本上稳定不变。并且假定城乡之间在未迁移前女性占的比例及育龄女性的所占比例大致相同（这可以由历年人口城乡统计估计可得）。 2.模型特点：采用图形拟合的方法，分别对各个影响参数建立小模型，求出它们各自与时间的比例函数，画出其函数图形，便于减少模型求解难度，同时便于对各个影响因素的考虑，一举两得。3.符号说明：存活率 ：（x岁的人的存活率）；年年初岁城市人口数c（x，t）；t年年初x岁乡村人口数f（x，t）；上一年城市与农村出生人数分别为与；出生为第t年的人的存活率（它与上一年的相应人数有
29、关）；年内城市和乡村的死亡人数分别为和；t年的平均寿命：；t年年初各生育妇女人数城市与乡村分别为和；t年的生育率q（x）；t年的总人口数N（t）；t年女性占人口的比例：L（t）；t年生育妇女数所占比例：h(t)；t年城乡人口的迁移率：s（t）；由于上面的变量很多受时间的制约，而且它们相互间还有一定的影响，因此在建立总的函数关系之前，我们先对各个变量建立时间的函数，依此建立所求的总人口数与时间的函数关系。1) 关于女性人口比例我们通过历年（1950-2000年抽样年数）的表格关于女性的比重数据提供，试图通过Matlab软件求解。z =0.0020767 x2 - 8.2314 x + 8205.
30、3405 %（由该程序计算出了女性人口比例函数L（t）=z）Matlab画图形如下：图形说明：该图形星点表示原始数据的女性人口比重，红虚线表示其走向，紫线表示拟合曲线。2) 出生率我们同上面一样采样数据建立拟合曲线，以此得出其出生率函数：z =-0.031346 x2 + 124.4589 x - 123520.5467 （由该程序计算出了出生率函数q（x）Matlab建立图形如下：图形说明：*表示实际数据的散点图，蓝线表示拟合后所画曲线。3) 女性的生育妇女数的比例求解根据已知数据分析是15-49岁为能够生育的年龄，故根据2001-2002年的15-49岁女性的平均比例进行拟合，得出大致的函
31、数曲线，同时还可根据Matlab求解出粗略的函数式：z =0.0036929 t2 - 14.7948 t + 14819.0987 %据此求出了女性生育数比例h（t）即是上式的zMatlab求解图形显示如下：图形说明：红线表示模拟曲线，+点表示实际离散点。由于依据的数据有限只有五年，故拟合的函数跟实际散点的有些偏差，这是该图形的不足之处。但如果数据较多，年限较长，偏差应该不会很大。所以初步认为此模型求解合理。4) 人口平均寿命函数计算：根据历年数据的抽查，画出实际的散点图，其次跟上面模型求解一样采用Matlab软件模拟画出拟合图形，求出拟合函数。z =0.0031692 t2 - 11.82
32、63 t + 11048.726 %平均寿命函数=z 函数拟合图形如下图所示：图形的说明；o代表实际数据离散图形，红线代表拟合出的图形。图形的评价：拟合图形是一个二次函数的图形，有他的趋势初步推测，平均寿命是成上升趋势，在近来和未来的几十年里，平均寿命呈现出明显的上升趋势，而这与我们人口的实际普查数据是相吻合的，说明函数的求解及函数的拟合的准确性。但另一方面图形不可能持续上升，在未来的某段时间内平均寿命会趋向于平稳，这是因为社会的发展水平如：健康状况，医疗服务，社会保障等均影响着人口的平均寿命，所以图形在某年以后平均寿命趋于丁值。该图没能够明确显示，这也是本图的缺陷之所在。5) 模型4的进一步
33、思考由于模型4中对平均寿命是从社会总体情况来考虑，没有深入细化，鉴于此在这对此模型作进一步思考，即我国老龄化因素对平均寿命有很大影响。 下图反映了老龄人口的一些变化。年份老年人口系数/%年份老年人口系数/%年份老年人口系数/%19494.1019875.4819966.9419534.4119905.5719977.0419594.9019915.9919987.4319643.5419926.0919997.6319754.8019936.1520006.9619784.8019946.2319824.9119956.70表1、建国以后我国老年人口系数的变化1990年到2000年这个连续年份
34、中，由19902000得出：假设年份和老年人口系数存在以下关系：任沿用用数据拟合的方法来确定上式中的a,b,c,d.由此得到老年人口系数y与年份t的拟合函数为：根据上述函数模型可以预测未来的人口分布（即下表）年龄组20102015202020252030总 计1.34E+091.38E+091.41E+091.44E+091.46E+090486417714894188539211010594454937963997965980657740838469148675877389369964916450411014667425748043623583616652865205148912453415
35、19897164066660256180267497834412418633901220241.25E+088943424466393093800150528317881425291.02E+081.24E+088900153866071866796279183034935947101.02E+081.23E+08885089476570618335391.16E+08929743701.01E+081.23E+088792231540441.25E+081.15E+08921966561E+081.22E+0845491.07E+081.24E+081.14E+089109690898931
36、8785054788931171.05E+081.22E+081.12E+0889530009555981774257767569541.02E+081.18E+081.09E+086064589742957830116573496956979148581.13E+08656941235964547704977271971268257955909353037074342879303650542248487289643773906042748175792492211927752985295478443924608452107687808414845281178732601990345621190
37、6662814589985896535503849333810225716113872401212368390岁以上2524791366002048635445982539681934465以上人口1.24E+081.49E+081.86E+082.1E+082.51E+08所占百分比9.30%10.83%13.16%14.60%此模型对4模型中的平均寿命的一个重要影响因素即老龄化做了深一步讨论，得出了老龄人口与时间的关系，由于时间和精力的原因虽然我们没有直接建立它与平均寿命的联系，但这对后来的研究会产生一定的促进作用，并且我们在这里做出了未来几年中人口的预测，这些积极有利方面都是可取的。以下
38、我们还进一步对各年龄组的未来几年的人口做了估测。由以上模型，利用Matlab得到的递推公式：X2=A*X1+1.8*B*X1; Xn+1=A*Xn+1.8*B*Xn;续表：年龄组2035204020452050总 计1.48E+091.48E+091.48E+091.47E+090 49786592598782278991109769892003359935320439495455795843649961625701014913933639327518394693791955804411519889375699120163993079511944951422024860674728865785
39、7909148069278677225298277637485651055882289079047493630347918720882318238851770088774059335396527068778662360817726378461246040448718686164724709780043638108862445491.2E+088614687163952654770739055054972302151.18E+088466511562852646555987105834945975441.15E+088237266560641.04E+0883406301905798261.1E
40、+0865691.05E+0896791414774609448412312670748050331093280289856876156857471475794891059265160164755019756935639180843736978535076942467305585414733885891610293721380141200683512673566190岁以上73826799323729122618611251932165岁以上人口2.96E+083.21E+083.18E+083.15E+08所占百分比0.20020.21670.21490.21476) 城乡人口迁移率 城乡人口迁移率问题