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1、企业退休职工养老金制度改革的探讨摘要本文研究了企业退休职工养老金制度的改革问题，通过分类讨论、图形求解，以及构建灰色预测模型，借助MATLAB软件，建立了三个模型，分别给出了四个问题的解决方案，求解出不同问题下的最优答案。对于问题一，首先做出对未来经济的发展和工资增长的假设，以社会的平均工资为因子建立灰色系统预测模型，计算出2011年至2035年山东省职工的平均工资的预测值，然后进行残差和切近度检验，说明我们的假设及模型是合理准确的。对于问题二，我们首先利用均值法求解出不同年龄段时在不同的月收入范围内的平均工资值，利用有关函数公式，计算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值；
2、然后根据附件中的养老保险金计算办法和养老金替代率的定义进行求解，得到6种情况下的替代率：从30岁到55岁、60岁和65岁退休的替代率分别为：32.188%、39.013%、47.069%；从40岁到55岁、60岁和65岁退休替代率分别为21.127%、28.318%、33.454%。从中我们可以得出退休时间越晚，缴费时间越长，替代率越高，个人账户支付水平就会越高。对于问题三，根据缺口的定义，分别算出退休前缴存的养老保险与退休后领取的养老金的额度值，两者之间的差值即为缺口，得出随着退休时间的延长，养老保险的收支之差会逐渐减小，并趋于平衡。以此求出55岁、60岁和65岁退休时，达到收支平衡的岁数分
3、别为67岁、70岁和74岁。由此可知：缴存养老保险的年限越长，则达到收支平衡时的岁数就会越大。对于问题四，根据以上我们所建立的模型可以得出，影响替代率和养老保险基金收支平衡的因素有许多，个人工资及工资的增长率、利率、缴存年龄、退休年龄、平均余命等等，因此既要达到目标替代率，又要维持养老保险金的收支平衡，我们主要讨论了以下措施：（1）选择合适时机延长退休年龄；（2）政府着力提高个人账户投资收益率；（3）提高个人缴费率。本文最后对建立的预测模型进行了客观的评价，分析了它的优缺点，进而对模型的改进和推广提供了一些意见。关键词: 养老保险金 灰色预测模型 均值法 MATLAB软件 一、问题的重述1.1
4、问题的背景与资料养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老
5、金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡
6、的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。1.2需要解决的问题问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年
7、至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险
8、基金收支平衡，你认为可以采取什么措施；请给出你的理由。二、问题的分析2.1问题一的分析根据对问题一的条件和有关数据，要预测2011年到2035年的山东省职工的年平均工资，所以我们想首先要建立一个预测模型，根据题目中所提供的从1978年到2010年的平均工资数额，可以看出未来经济和工资是逐渐增长的，在我们作出假设前提下，建立了一个灰色预测模型。2.2问题二的分析根据2009年该企业各年龄段的工资分布，我们考虑运用取均值的方法进行求解各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值，然后在我们的假设下，再根据题目对替代率的定义以及附件中养老金的计算方法进行各个不同情况下的养老金替代率的求解。2.3问题三的分
9、析根据题目对缺口的定义，我们想可以分别算出退休前缴存的养老保险基金与退休后领取的养老金的额度值，然后计算它们之间的差值，同理可得其它情况下缺口值；依照此方法，要使缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，即我们可以另两者的差值为零，从而求解出具体年限。2.4问题四的分析由我们所建立的模型，分析解出的数据，再联系我国的现实情况，我们提出相应的措施和建议。三、模型的假设1、假设附件中所提供的数据是准确无误的；2、假设未来几十年内社会稳定，不会发生动乱等不安定的影响因素；3、假设不考虑政策等各种人为因素的干扰影响；4、假设未来几十年内养老金制度不会发生很大的变化四、重要符号的说明不同年龄段
10、时职工工资与该企业平均工资之比不同情况下的替代率某职工在年的缴存的养老保险基金数额从退休开始在第年龄时所要领取的养老金的本息和不同情况下的缺口值达到收支平衡时岁数五、模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解5.1.1灰色预测模型首先我们假设未来几十年内我国经济的发展是持续稳定快速发展的，而且社会的个人工资也是随着经济的发展而持续增长的，所以我们考虑运用灰色预测模型进行对未来社会平均工资进行预测。灰色预测是对某个事物发展变化的大小与时间所作的预测，称之为数列预测。模型为单序列的一阶线性动态模型，是常用的一种灰色数列预测模型。此方法不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方
11、程模型，这样可以抵消大部分随机误差，显现出规律性。具体流程图如下：以1978年到2010年山东省职工历年平均工资为数据依据建立灰色预测GM（1,1）模型预测2011年到2035年的年平均工资对预测所得的数据进行分析比较1）灰色预测模型的建立步骤： 以社会平均工资为因子，建立一个灰色预测模型，通过这个模型对未来平均工资进行预测，设对于给定的原始社会的平均工资数据序列为：，因为时间数据多为随机的，故一般不能直接用于建模，若将原始数据进行累加生成，可获得新的数据序列：，其中：2）对作均值生成序列，得：；其中：；其中构造数据矩阵为：构造数据向量为：利用的数据数列我们可以建立微分方程的预测模型为：；3）
12、利用最小二乘法求解参数：；4）建立预测公式：我们得到的预测公式为：，其中同理可得的预测公式为：，其中并且规定：。5.1.2模型建立：根据灰色预测模型5.1.1的一般过程，我们建立模型如下： ()其中为预测值，为累加序列值，为参数。5.1.3模型求解：为了预测2011年至2035年的山东省职工的年平均工资，我们先对1978年到2010年的工资增长作了以下的形式图（见下图1），图1由此上图可得，在1978年到2000年之间的增长率很缓慢，因为当时国内经济的增长缓慢，社会不稳定等因素所致，所以为了准确的预测未来几十年平均工资的变化，我们取2000年至2010年的年平均工资(单位：元)作为我们的初始数
13、据；则初始时间序列为：；然后对其累加求和得到新序列为：；从而我们可得其数据矩阵为： ；数据向量为：求解的参数和为：从而我们得到的灰色预测模型为：；5.1.4模型的检验由于灰色系统模型的检验方法有多种，常见的有后验差检验，关联度检验，残差检验等。其中残差检验是一种较为客观的检验方法，所以我们在此采用此方法。我们对平均工资预测值进行检验：1）计算原始数列的均值为：6.0642）计算原始数列的均方差为：；其中：；3）计算残差的均值为：；4）计算残差的均方差为：；其中：5）计算方差比为：；6）进行检验：根据残差检验规定预测精度等级表（见表1）c值预测精度等级0.35好0.50合格0.65勉强合格0.6
14、5不合格表1预测精度等级划分则可知该模型的预测等级为:“好”。则由我们的预测模型我们可以得到预测值与实际统计值，可得数据如表格2所示：年份20062007200820092010统计工资1922822844264042968832074预测工资（元）1933322925265052979932108误差0.0054%0.0035%0.0038%0.0037%0.0012%表2 从表中我们可以清晰看出，预测工资与统计工资十分的接近，但是我们发现预测方程呈指数增长型，长时间后职工的工资还是会一直无限的增加，所以我们认为该灰色预测模型只适用于短期预测。运用此模型我们预测了2011年到2035年的工资
15、的平均值（见下表3）。年份20112012201320142015预测工资37782.6643200.4249395.0556477.9464576.47年份20162017201820192020预测工资73836.2884423.8796529.65110371.3126197.8年份20212022202320242025预测工资144293.6164984.3188641.8215691.7246620.4年份20262027202820292030预测工资281984322418.4368650.9421512481954.7年份20312032203320342035预测工资551
16、063.6630082.1720431.4823736.1941853.9表3 同时我们也对1978年到2010年的统计值与我们对1978年到2035年的预测值作的一个切近程度图（见下图2）图2由上图2，可以看出1978年到2010年的实际统计值的曲线图与我们预测值的曲线图很切近，几乎重合，从而再次证明我们所建立的预测模型是比较符合实际情况的，同时根据上表3，我们还可以得到未来25年内职工的年平均工资会持续增加，正好符合我们模型一开始所假设的，从而说明我们所作的假设是比较合理准确的。5.2问题二模型的建立与求解5.2.1各个年龄段职工工资与该企业平均工资之比模型的建立与求解：根据题目中的条件和
17、有关数据，我们对2009年该企业各个年龄段职工的工资表作了处理，由题目附件中的数据表所给的形式我们分成8个区间，假设 ：1）：表示第个月收入范围内的平均工资；2）：表示第个月收入范围内的第个年龄段内所占的人数；3）：表示第个年龄段的人的平均工资值；然后我们运用求均值的方法，根据公式；得到在各个不同月收入区间范围内的平均工资值（具体所得的求解值见下表4）；月收入范围1000-14991500-19992000-24992500-2999平均收入1249.51749.52249.52749.5月收入范围3000-34993500-39994000-49995000-8000平均收入3249.537
18、49.54499.56500表4再根据公式可得到各个年龄段的职工平均工资值： ；然后根据公式可得到该企业平均工资值： ；则最后我们根据公式可求得不同年龄段时职工工资与该企业平均工资之比： ；则套用上面的公式，具体求解的数据（见下表5）：年龄段人数职工平均工资（元）工资之比企业平均工资20-24岁2821726.4503550.66923632579.73（元/月）25-29岁2632076.4961980.804927130-34岁2422534.6239670.982514435-39岁2262751.7168141.066667740-44岁2213025.5248871.17280594
19、5-49岁1943267.5515461.266624450-54岁1353118.029631.208664255-59岁1012979.698021.1550417表55.2.2养老金替代率模型的建立与求解：根据我们对问题的分析，我们考虑会有各种不确定因素影响养老保险费用的增长速度与社会职工工资增长速度，且影响的程度也会不同，则就会造成增长速率不同，所以为了计算问题的方便，我们首先假设个人领取养老保险费用的增长速度与社会职工工资增长速度一致，这样我们就可以根据题目所给的条件及数据进行替代率的求解。1)根据题目附件中养老金的计算办法，我们可知：其中：表示全省上年度职工月平均工资;表示本人指数
20、化平均缴费工资其中：表示全省上一年度在岗职工月平均工资；由于要把各个年龄段职工工资与平均工资的比值作为职工的缴费指数的参考值，所以我们根据5.2.1中所求的比值数据，作了以下的职工缴费指数的预测图（见图3）图3根据职工缴费指数的预测图，我们可以得出达到一定峰值时，缴费指数会呈下降趋势，从而我们可以粗略得出在不同年龄段时缴费指数；然后题目中的所给的数据以及问题一中所预测的数据进行求解。2)替代率是影响养老保险基金的一个重要因素，并且它是指职工刚退休时的养老保险占退休前工资的比例，即：；从而根据上述的有关公式，可以得出各个情况下的养老金替代率，我们以30岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁退休为例，
21、运用EXCEL进行求解，得到具体数值（见下表6）：30岁到55岁退休年份上一年度的平均工资历年缴费额个人账户额20007656701.761469.32920018772800.561627.3736200210007909.921795.80582003113741005.361926.37372004125671146.562132.93932005143321329.122400.53852006166141538.242697.31312007193331827.523111.23052008229252112.323491.34312009265052375.043811.24192
22、010297992565.923997.61972011321083022.61264571.97265201237782.663456.03345075.3017201343200.423951.60395634.0422201449395.054518.23546254.2946201556477.945166.11796942.8306201664576.475906.90227707.167605201773836.286753.90968555.6506201884423.877722.37179497.5431201996529.658829.704410543.128820201
23、10371.310095.820611703.82312021126197.811543.488812992.29832022144293.613198.742214422.62192023164984.315091.347016010.41012024188641.817255.337817772.9979养老金5060.141元替代率32.188%表6同理我们按照上述的计算方法，可得到下面几种情况下养老金替代率的值，则其相应的求解数据（见下表7）：缴存时间段个人账户存储额养老金替代率30岁到55岁145333.0715060.04132.188%30岁到60岁293082.05111985
24、.27639.013%30岁到65岁583262.70128258.34147.069%40岁到55岁32554.680869.65121.127%40岁到60岁70366.0812277.95228.318%40岁到65岁145333.1015258.93933.454%表7从上表中的数据，我们可以得出替代率与退休年龄之间的关系，退休时间越长，替代率会越高，个人账户养老金月领取标准就会越大，可见缴费时间越长，退休越晚，则退休后的个人账户支付水平就会越高。5.3问题三模型的建立与求解5.3.1缺口情况模型的建立与求解：根据题目中的问题和已知条件，经过我们的分析考虑，可知养老保险基金的缺口情况总
25、共有三种。因为题目中个人账户储存额的利率统一设定为3%，养老保险基金由社会统筹基金和个人账户资金两部分组成。然而企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。因为题目假设某职工退休后一直到75岁时死亡，则为了解决问题的方便，首先我们作出以下的假设：1） 假设该企业某职工在不同年龄时的个人工资等同于此年时的社会平均工资；2） 假设个人领取的养老保险费用的增长速度与社会职工平均工资增长速度一致；3） 假设某职工从退休到75岁死亡之间的养老金该员工不作领取，直至死亡的那 一年全部领取出来。然后再根据我们的假设，我们可以得到三种情况下的
26、缺口数额。这里我们以从2000（设为1时的年限，）年起，30岁（设为1时的年龄）开始缴养老保险，一直缴费到55岁退休，总共需要缴存25年，并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡为例。计算该情况下的养老保险基金的缺口情况，我们设：1）：表示某职工在第年的个人工资平均数额；某职工在第年的缴存的养老保险基金的数额为：则某职工25年之后总的缴存的养老保险基金的数额为：2）设：表示退休之后第年的养老金；则从55岁退休开始在第年龄时所要领取的养老金的本息和为：从而我们可以从55岁一直到75岁总的所领取的养老金本息和：；3)最后可以得到30岁缴费到55岁退休，75岁死亡的这种情况下的缺口为：；下面我们以20
27、00年为例进行相应数据的计算：2000年的缴存的养老保险基金的数额为：（元）；则55岁所要领取的养老金的本息和为：（元）其详细数据见下表8：30岁-55岁缴存情况年份不同年份的缴存额（元）不同年份缴存养老保险基金数额（元）20002456.169288.20420012801.9610287.2620023184.7211351.9920033518.7612177.3620044012.9613483.1420054651.9215174.7420065383.8417050.7720076396.3219667.320087393.1222070.1420098312.6424092.34
28、20108980.7225270.51201110579.1428901.22201212096.1232082.96201313830.6135614.97201415813.8239535.83201518081.4143888.34201620674.1648720.01201723638.6854083.6201827028.360037.67201930903.9766647.22202035335.3773984.42202140402.2182129.38202246195.691171.01202352819.71101208202460393.68112350总的缴费养老保险
29、基金的数额1050268表8退休后在不同年份时所要领取的养老金的值（见表9）：年份20252026202720282029养老金的本息和9545.91610801.2512215.7813809.3415604.2年份20302031203220332034养老金的本息和17613.418423.219271.2520125.3221252.32年份20352036203720382039养老金的本息和25367.6326123.8528456.5629960.3231251.65年份20402041204220432044养老金的本息和40700.5445813.0873313.768241
30、2.6592624.85表9同理可得：某职工30岁时缴纳养老保险金，分别在60岁和65岁退休，至75岁死亡时两种情况下的养老保险基金的缺口情况，详细值（见表10）：缴存时间段30岁-55岁30岁-60岁30岁-65缺口情况值（元）-6565974-3825623-1232268表10则由上表中的数值我们可以得到：随着退休时间的延长，养老保险基金的收支之差会逐渐减小，则养老保险基金的收支平衡会逐步得到维持。5.3.2多少岁时达到收支平衡的模型的建立与求解若要达到收支平衡，则必须使缴存的养老保险基金与领取的养老保险金之间的差值为零。我们以30岁开始缴存养老保险基金，55岁退休，岁时达到收支平衡为例
31、进行求解，根据5.3.1的公式及说明，则要达到收支平衡必须满足下式：然后我们运用MATLAB编程，进行上式计算，最终我们得出，当岁时可达到收支平衡。同理我们可得到60岁和65岁退休时，达到收支平衡的岁数分别为70岁和74岁。由此我们可得缴存养老表现基金的年限越长，则达到收支平衡时的岁数就会越大。5.4问题四模型的求解由题意可知：影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，就可能
32、出现缺口。根据以上我们所建立的模型可以得出，影响替代率和养老保险基金收支平衡的因素有许多，工资及工资的增产率，利率，缴存年龄，退休年龄，平均余命等等，因此既要达到目标替代率，又要维持养老保险金基金的收支平衡，我们可以采取以下措施来维持养老保险基金的收支平衡。1）选择合适时机延长退休年龄根据我们问题二的模型的建立与求解，若某职工从2000年30岁开始缴费，缴25年到55岁退休时可领取养老保险基金为17255.33元，替代率为32.188%，若缴费满35年到60岁退休的退休时可领取养老保险基金293082.51元，替代率为39.013%，两者个人账户工资的替代率相差不大，而个人账户养老金月领取标准
33、却相差很多，可见缴费时间越长，退休越晚，退休后的个人账户支付水平就会越高。但是由于现在的国情，所以很难大面积提高退休年龄，但是从长期来看，随着我国计划生育的执行以及老龄化的日益加剧等局面的影响，此种情况将会迅速的转变，因此选择合适的时间提高劳动者的退休年龄，不仅能够增加社会经济发展所需的劳动力，而且能够延长个人账户积累的时间，减少个人账户的支出时间，就能有效地提高劳动者养老保险的目标工资替代率，维持了养老保险基金的收支平衡。同时我们也根据上海市的“柔性退休”试行意见，可得到延迟男性一般不超过65周岁，女性一般不超过60周岁。2）政府可以着力提高个人账户投资收益率因为投资收益率对养老金个人账户替
34、代率水平有着重大影响，如果个人账户养老金投资收益率低于基准指标（一般指通货膨胀率、工资增长率或缴费期间经济增长率三个标准），就可能面临贬值的风险，威胁着制度的可持续运行；按照我们模型的假设，在其它情况相同的条件下，个人账户记账率同社会平均工资增长率越接近，则个人养老金账户的替代率就会越高，然而社会平均工资年增长率与个人账户目标工资替代率成反相关的关系（见下图4）图4说明即使社会平均工资年增长率的提高能够带来个人账户月领取标准的提高，却难以保证参保职工领取到的养老金实际购买力同步提高，事实上个人账户目标工资替代率才是影响参保职工养老保险保障水平的主要影响因素。因此就必须想办法提高个人账户养老基金
35、投资收益率，力争使个人账户养老金的记账利率等于或者高于社会平均工资增长率，从而提高个人账户养老金的目标工资替代率。3）提高个人缴费率缴费率是指缴费者的养老保险缴费与缴费工资总额的比率。根据我们所建立的模型和有关材料，缴费率是影响养老金收支的一个重要的因素，缴费率越高，替代率就会越高，养老基金收支就会越容易得到平衡；缴费率越低，替代率就会越低，养老基金收支平衡则就越不容易实现，同时也将增加社会统筹的收缴，从而缓解人口老龄化背景下养老保险基金的压力，提高了目标替代率的同时也实现收支的平衡。六、模型的评价与推广6.1模型优点1、我们所有的分析都是建立在所得数据的基础上的，预测结果有理有据；2、选择近
36、几年来的相关数据建立的灰色系统预测模型，更能反映近几十年后平均工资变化情况；经过各种严格检验，预测模型精度较高，结果更加准确。6.2模型缺点GM(1,1)模型在其使用条件上存在着一定的限制，它是描述按指数规律变化 事物的模型，因此，它使用于呈指数规律发展变化的系统进行预测。也就是说我们默认了平均工资的指数增长方式。其次，在求解替代率、缺口和养老金收支平衡的时候我们的假设是比较理想化的，因而存在一定的局限性。6.3模型的改进在满足符合参差修正条件的前提下，选用循环GM（1,1）模型，以提高模型精度。6.4模型的推广本文建立的数学模型具有较强的“可移植性”，在考虑到以上改进意见的前提下，可以利用该模型较为准确的预测各个城市各类房屋的销售价格，分析影响房价的主要因素，以及评价调控政策的效果预测调控政策的影响。还可以预测短期内人口数量的变化参考文献1 邓聚龙，灰色预测与决策M.武汉:华中工学院出版社,19862 袁嘉祖，灰色系统理论及其应用M.北京:科学出版社,19913 姜启源，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8。4 王文波，数学建模及其基础知识详解，武汉：武汉大学出版社，2006.5。