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1、应用时间序列分析 何书元 编著 北京大学出版社,概率统计学科中的一个分支，具有非常广泛的 应用领域(数据以时间序列的形式出现）： 金融经济 气象水文 信号处理 机械振动 目的：描述、解释、预测、控制 本书主要介绍时间序列（线性平稳序列）的基本知识、常用的建模和预测方法,国际航空公司月旅客数,参考书： 时间序列的理论与方法 田铮 译 深入学习 Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods Jianqing Fan Qiwei Yao SPRINGER,Matlab软件 http:/ 教师介绍 统计学研究所 王秀云 课件下载
2、,目 录,第一章 时间序列 第二章 自回归模型 第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型 第四章 均值和自协方差函数的估计 第五章 时间序列的预报 第六章 ARMA模型的参数估计,应用时间序列分析,第一章,时间序列,时间序列、平稳序列 线性平稳序列、平稳序列的谱函数, 1.1 时间序列的分解,最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及。 古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就构成所谓的时间序列。对这个时间序列长期的观察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。由于掌握了尼罗河泛滥的规律，使得古埃及的农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。 按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就
3、构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。,例1,德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期,Wolfer记录的300年的太阳黑子数,例2,国际航空公司月旅客数,某上市公司的周走势图,例3,1790-1980年间每10年的美国人口总数,例4,1985至2000年广州月平均气温,例5（见教材）,北京地区洪涝灾害数据,例5 虚线是成灾面积,图,一、时间序列的定义,时间序列:按时间次序排列的随机变量序列 个观测样本:随机序列的 个有序观测值 称序列 是时间序列(1.1)的一次实现或一条轨道,二、时间序列的分解,时间序列的典
4、型模型 趋势项 、季节项 、随机项 注：1. 单周期s季节项，则 此时在模型中可要求,2. 随机项，可设,三、分解方法,例. 某城市居民季度用煤消耗量,例图,分解一般步骤,1. 趋势项估计 分段趋势 线性回归拟合直线 二次曲线回归 滑动平均估计 2. 估计趋势项后,所得数据 由季节项和随机项组成, 季节项估计 可由该数据的每个季节平均而得. 3. 随机项估计即为,方法一：分段趋势法,一、分段趋势图(年平均),趋势项估计为,二、减去趋势项后,所得数据,消取趋势项后图,三、季节项和随机项,1.季节项估计,2.随机项的估计,方法二：回归直线法,一、趋势项估计 一元线性回归模型 最小二乘估计为 可得到
5、,数据和直线趋势项,估计趋势项后,所得数据,（1.0e+003 *） 1.0764 -0.4802 -0.9979 0.5542 0.9258 -0.3789 -1.1878 0.4509 0.6572 -0.3406 -1.3462 0.4026 1.0654 -0.5541 -1.1190 0.5118 1.2611 -0.3112 -1.1988 0.5580 1.2365 -0.2964 -1.0817 0.5884,二、季节项估计 为,1.0e+003 * 1.0371 -0.3936 -1.1552 0.5110 1.0371 -0.3936 -1.1552 0.5110 1.03
6、71 -0.3936 -1.1552 0.5110 1.0371 -0.3936 -1.1552 0.5110 1.0371 -0.3936 -1.1552 0.5110 1.0371 -0.3936 -1.1552 0.5110,随机项估计为,方法三： 二次曲线法,数据和二次趋势项估计,二次项估计,季节项,1.0e+003 * 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989 1.0283 -0.4002
7、 -1.1630 0.4989 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989,随机项,-83.0000 -176.9667 99.0000 16.8833 -116.4000 28.7333 0.7000 -7.6167 -319.0000 120.2333 -117.3000 -28.3167 104.0000 -91.2667 99.1000 57.2833 263.3000 102.4333 -42.7000 28.6833 151.1000 16.8333 -38.8000 -66.9167,1.2 平稳序列,时间序列的分解中趋势项和季节项通常可以用非随机函数来描述。 随
8、机项通常呈现出沿一水平波动的性质，且前后数据具有一定的相关性，与独立序列有所不同。,一、平稳序列,例2.1 平稳序列的线性变换,例2.2 调和平稳序列,自协方差函数的性质,性质(2)的证明,证 任取一个 维实向量 有,性质(3)、Schwarz不等式,非负定性、随机变量的线性相关,自相关系数,白噪声,标准正态白噪声的60个样本: A=randn(1,60)；plot(A),例2.3 Poisson过程,Poisson白噪声,Poisson白噪声的60样本的产生,1. 随机产生服从(0,1)上均匀的200个样本: 2. 给出服从参数为1的指数分布的200个独立样本; 3. 给出参数为1的Pois
9、son过程一条样本轨道在i=1,61上的取值: y=rand(1,100); z= -log(1-y); for i=1:61;sum=0;num=0; for j=1:100 sum=sum+z(j); if sum=i num=num+1; end N(i)=num; end end,4参数为的Poisson白噪声的60个样本: t=1:60; plot(t,N(t+1)-N(t)-1)；,布朗运动,标准正态白噪声的60个样本: A=randn(1,60)；plot(A),随机相位,随机相位独立白噪声的60个样本,独立白噪声的60个样本，其中 独立同分布且都在上服从 均匀分布 for t=
10、1:60; U(t)=rand(1,1); end plot(U) t=1:60; plot(t,sqrt(2)*cos(4*t+2*pi*U(t),二、正交和不相关性,定理2.2,1.3 线性平稳序列和线性滤波,有限运动平均 线性平稳序列 时间序列的线性滤波,有限运动平均,MA的平稳性,概率极限定理,线性平稳序列,1. 线性序列的a.s.收敛性,2. 线性序列的平稳性,注:均方意义下的线性序列,3. 定理,证 当 时,注：,4. 一般平稳序列不一定,则,单边线性序列,线性滤波,矩形窗滤波器,例3.1 余弦波信号的滤波,注:,余弦波信号的滤波,余弦波信号的滤波： t=1:100; epslon
11、(t)=randn(1,100); U=rand(1,1); x(t)=1.5*cos(pi/7*t+2*pi*U)+2*pi*epslon(t); plot(x),t=1:100; epslon(t)=randn(1,100); U=rand(1,1); x(t)=1.5*cos(pi/7*t+2*pi*U)+epslon(t); plot(x); hold on t=4:97; y(t)=1/7*(x(t-3)+x(t-2)+x(t-1)+x(t)+x(t+1)+x(t+2)+x(t+3); plot(t,y(t)+3,-.r),1.4 正态时间序列和随机变量的收敛性,随机向量的数学期望和
12、方差 正态平稳序列,随机向量的数学期望和方差,随机向量线性变换,多维正态分布,多维正态分布的充要条件,正态平稳序列,概率极限,正态序列收敛定理,正态线性序列,证明 平稳序列已证。下证为正态序列 先证对任何 ,有 其中 .,对任何 , 定义 其中 则有当 时, 有,由定理4.2, 得到 依分布收敛到 . 故 从而由 和定理4.1得到(4.9).,用同样方法可以证明: 对任何 有 其中 . 定理4.4成立. 注:当 时结论仍成立.,1.5 严平稳序列及其遍历性,严平稳序列,严平稳与宽平稳关系,遍历性,遍历性例子,遍历定理,线性平稳列的遍历定理,1.6 Hilbert 空间中的平稳序列,Hilbert 空间 内积的连续性 复值随机变量,Hilbert 空间,Hilbert 空间,Hilbert 空间,Hilbert 空间,Hilbert 空间,Hilbert 空间,内积的连续性,证明,例、n维Hilbert空间,复值随机变量,复值时间序列,1.7 平稳序列的谱函数,时域和频域,谱函数定义,谱函数存在唯一性定理,谱函数和谱密度的关系,线性平稳序列的谱密度,例,自相关函数图,谱密度图,两正交序列的谱,线性滤波与谱,定理7.4,时间序列分析软件,常用软件 S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS 推荐软件SAS，matlab,