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1、 湖 北 省 高 等 教 育 自 学 考 试 本 科 毕 业 生 论 文 评评 审审 意意 见见 表表 论文题目：论文题目：基于基于 MATLAB 的的 IIR 滤波器的设计与仿真滤波器的设计与仿真 姓 名： 专 业： 电子信息工程 准考证号： 工作单位： 武汉纺织大学成教学院 填表日期：2011 年 2 月 15 日 湖北省高等教育自学考试委员会办公室制 指导老师单位职称 指导教师评语： 指导老师： 年 月 日 答辩小组评语： 组长签名： 年 月 日 答辩委员会意见： 负责人签名： （签章） 年 月 日 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 I 论文原创性声明论文原创性声明 我
2、以诚信声明： 本人所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得武汉纺织大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 作者（签字）： 签字日期：201 年 2 月 15 日 版权使用授权书版权使用授权书 武汉纺织大学有权保存学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网 公开本学位论文的全部或部分内容，允许论文被查阅，可以向有关部门或 机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部
3、或部分内容。 对于保密论文，按保密的有关规定进行法律处理。 作者（签字）： 签字日期： 2011 年 2 月 15 日 指 导老师（签字）： 签字日 期： 年 月 日 摘 要 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 II 在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号分析都是 基于滤波器而进行的。而数字滤波器是通过数值运算实现滤波，具有处理精度高，稳 定，灵活，不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。数 字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应（IIR）数 字滤波器和有限长冲激响应（FIR）数字滤波器。实现 IIR 数
4、字滤波器的阶次较低，所 用的储存单元较少，效率高，精度高，而且能够保留一些模拟滤波器的优良特性，因 此应用很广。Matlab 软件以矩阵运算为基础，把计算，可视化及程序设计有机融合到 交互式工作环境中，并且为数字滤波器的研究和应用提供了一个直观，高效，便捷的 利器。尤其是 Matlab 中的信号处理工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便的进行 科学研究和工程应用。本文首先介绍了数字滤波器的概念，分类以及设计要求。接着 利用 Matlab 函数语言编程，用信号处理图形界面 FDATool 来设计滤波器以及 Sptool 界面的设计方法，并用 FDATool 模拟 IIR 数字滤波器处理信号。重点
5、设计 Chebyshev I 型和 Chebyshev II 型数字低通滤波器，并介绍最优化设计。 关键词：IIRIIR；滤波器；FDAToolFDATool；SptoolSptool；SimulinkSimulink Abstract In modern communication systems, Because often mixed with various signal complex components, So many signal analysis is based on filters, and the digital filter is realized through
6、numerical computation, digital filter with high precision, stability and flexibility, 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 III dont exist, can realize the impedance matching simulating the special filter cannot achieve filter function. Digital filter according to its impulse response function and characteristi
7、cs of the time can be divided into two kinds, namely the infinite impulse response (IIR) digital filter and finite impulse response (FIR digital filters). The order of realizing IIR filter is used, low and high efficiency less storage unit, high precision, and can keep some simulation characteristic
8、s of filter, so it is widely used. Matlab software based on matrix computation, the calculation, visualization and program design of integration to intuitive, efficient and convenient tool. Especially in the Matlab signal processing to all areas of research toolbox personnel can easily for scientifi
9、c and engineering application. This paper introduces the concept of digital filter, classification and design requirements. Then using MATLAB language programming, whit functions of signal processing FDATool graphical interface design of interface design and Sptool filter, and FDATool analog signal
10、processing IIR digital filter. Key design Chebyshev type I and II digital chebyshev lowpass filter, and introduces optimization design. Key words: IIR; Filter; FDATool; Sptool; Simulink 目 录 摘摘 要要 II 前前 言言 1 第一章第一章 数字滤波器数字滤波器.2 1.1 数字滤波器的概念2 1.2 数字滤波器的作用3 1.3 数字滤波器的分类3 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 IV 1.
11、4 数字滤波器的设计要求5 1.4.1 数字滤波器的设计过程 .5 1.4.2 数字滤波器的技术要求 .5 第二章第二章 IIR 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 .6 2.1 IIR 数字滤波器的特点 6 2.2 IIR 数字滤波器的设计步骤 7 2.3 用脉冲相应不变法设计 IIR 数字滤波器8 2.3.1 设计原理 .8 2.3.2 脉冲相应不变法优缺点 12 2.3.3 应用实例 12 2.4 双线性变换法设计 IIR 数字滤波器.15 2.4.1 设计原理 15 2.4.2 双线性变换法优缺点 17 2.4.3 应用实例 18 第三章 IIR 滤波器的 MATLAB 设计 1
12、9 3.1 MATLAB 简介 19 3.2 IIR 数字滤波器的典型设计法 .20 3.2.1 IIR 数字滤波器的典型设计法的一般步骤 20 3.2.2 举例说明 21 3.3 IIR 数字滤波器的直接设计法 .23 3.3.1 IIR 数字滤波器的直接设计法的特点 23 3.3.2 举例说明 24 3.4 FDATOOL 介绍和界面设计 .26 3.5 FDATOOL 设计 IIR 数字滤波器 .27 第四章第四章 SIMULINKSIMULINK 仿真仿真 IIRIIR 滤波器滤波器 28 4.1 SIMULINK 仿真 28 4.1.1 SIMULINK 仿真的功能 .28 4.1.
13、2 SIMULINK 仿真的特点 .28 4.2 SIMULINK 仿真实例 29 第五章第五章 设计总结设计总结.31 结语结语32 参考文献参考文献 .33 致致 谢谢 .34 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 1 前 言 随着信息时代和数字时代的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科 和技术领域。目前数字信号处理在通信，语音，图像，自动控制，雷达，军事，航天， 医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。在数字信号处理中起着重要作用并已 获得广泛应用的是数字滤波器（DF, Digital Filter）, 根据其单位冲激响应函数的 时域特性可分为两类：无限冲激响应
14、 IIR (Infinite Impulse Response) 滤波器和有 限冲激响应 FIR （Finite Impulse Response） 滤波器。与 FIR 滤波器相比，IIR 的 实现采用的是递归结构，极点须在单位圆内，在相同设计指标下，实现滤波器的阶次 较低，即所用的储存单元少，从而经济效率高。MATLAB 是英文 MATrix LABoratory(矩 阵实验室)的缩写。它是美国的 MathWorks 公司推出的一套用于科学计算和图像处理可 视化，高性能语言与软件环境。MATLAB 的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域 的专用工具箱，它的两个基本组成就是滤波器的设计与实现
15、部分以及谱分析部分。工 具箱提供了丰富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用。只要以正 确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果， 使用非常方便。 第一章 数字滤波器 1.1 数字滤波器的概念 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 2 凡是可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减或抑制其他频率成分的装 置或系统都称之为滤波器，相当于频率“筛子”。 滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。数字滤波器指输入输出均为 数字信号，经过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频 率成分的器件。数字滤波器是一个离散时间
16、系统（按预定的算法，将输入离散时间信 号转换为所要求的输出离散时间信号的特定功能装置）。应用数字滤波器处理模拟信 号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤波器输入信号的抽 样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特 性，且以折叠频率即 12 抽样频率点呈镜像对称。为得到模拟信号，数字滤波器处理 的输出数字信号须经数模转换、平滑。数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改 变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学 生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。 数字滤波器是一个离散时间系统，输入 x(n)是一个时间
17、序列，输出 y(n)也是一个 时间序列。如数字滤波器的系统函数为 H(z)，其脉冲响应为 h(n)，则在时间域内存在 下列的关系： )()()(nhnxny 在 z 域内，输入和输出存在下列关系： )()()(zXzHzY 式中，X(z)、Y(z)分别为输入 x(n)和输出 y(n)的 z 变换。 同样在频率域内，输入和输出存在下列关系： jHjXjY 式中， jH 为数字滤波器的频率特性; jX 和 jY 分别为 x(n)和 y(n)的频谱。 为数字角频率，单位 rad。通常设计 jH 在某些频段的响应值为 1，在某些频段的 响应为 0。 jX 和 jH 的乘积在频率响应为 1 的那些频段的
18、值仍为 jX ，即在这 些频段的振动可以无阻碍地通过滤波器，这些频带为通带。 jX 和 jH 的乘积在 频率响应为 0 的那些频段的值不管 jX 大小如何均为零，即在这些频段里的振动不 能通过滤波器，这些频带称为阻带。 一个合适的数字滤波器系统函数 H(z)可以根据需要改变输入 x(n)的频率特性。经 数字滤波器处理后的信号 y(n)保留信号 x(n)中的有用频率成分，去除无用频率成分1。 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 3 1.2 数字滤波器的作用 滤波器是一种对信号有处理作用的器件或电路。数字滤波器是数字信号处理技术 的重要内容。和模拟滤波器一样，数字滤波器的主要功能是
19、对数字信号进行处理，最 常见的处理是保留数字信号中的有用频率成分，去除信号中的无用频率成分。 主要作用是：让有用信号尽可能无衰减的通过，对无用信号尽可能大的衰减。 滤波器一般有两个端口，一个输入信号、一个输出信号 利用这个特性可以将通过 滤波器的一个方波群或复合噪波，而得到一个特定频率的正弦波4。 滤波器的作用： （1）将有用的信号与噪声分离，提高信号的抗干扰性及信噪比； （2）滤掉不感兴趣的频率成分，提高分析精度； （3）从复杂频率成分中分离出单一的频率分量。 1.3 数字滤波器的分类 数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。它可以是时不变的或时变 的、因果的或非因果的、线性的或非线
20、性的。 1从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器 （1）经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频 率成分各占有不同的频带，通过以合适的选频滤波器达到目的） 。 （2）现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器 （按随机信号内部的系统分部规律，从干扰中最佳提取信号） 。 2从数字滤波器的单元冲击响应来看，可分为俩大类：有限冲击响应（FIR）数 字滤波器和无限冲击响应（IIR）数字滤波器。IIR 滤波器系统函数的极点可以位于单 位圆内的任何地方，因此可以用较低的阶数获得较高的选择性，所用的存储单元少， 经济而效率高，但是系统函数的极点也可能位于单位圆外，
21、可能会引起系统的不稳定。 同时 IIR 滤波器的相位是非线性的，且它的选择性越好，相位的非线性就越严重。相 反 FIR 滤波器却可以得到严格的线性相位，然而由于 FIR 滤波器的系统函数的极点个 定在原点，所以只能用较高的阶数来实现其高选择性，对于同样的滤波器设计指标， FIR 滤波器所要求的阶数要比 IIR 高 5 至 10 倍，所以成本较高，信号延迟也较大。但 是如果要求相同的线性，则 IIR 滤波器就必须加全通网络进行相位校正，同样也要增 加滤波器网络的阶数和复杂性。FIR 滤波器可以用非递归的方法实现，在有限精度下不 会产生振荡，同时由于量化舍入以及系数的不确定性所引起的误差的影响要比
22、 IIR 滤 波器小的多，并且 FIR 滤波器可以采用 FFT 算法，运算速度快。但是不想 IIR 滤波器 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 4 可以借助模拟滤波器的成果，FIR 滤波器没有现成的计算公式，必须要用计算机辅助设 计软件（如 MATLAB）来计算。由此可知，FIR 滤波器应用比较广，而 IIR 滤波器应用 比较广，而 IIR 滤波器应用比较广，FIR 滤波器则用在相位要求不是很严格的场合。 IIR 滤波器： FIR 滤波器： 3从功能上分为如下 4 类： （1）低通滤波器（LPF）它允许信号中的低频或直流分量通过，抑制高频分量或干扰 和噪声。常用的低通滤波器是用
23、电感和电容组合而成的，电容并联在要滤波的信号线 与信号地之间（滤除差模干扰电流）或信号线与机壳地或大地之间（滤除共模干扰电 流）电感串联在要滤波的信号线上。按照电路结构分，有单电容型（C 型） ，单电感型， L 型和反 型，T 型， 型。 （2）高通滤波器（HPF）它允许信号中的高频分量通过，抑制低频或直流分量。用于 干扰频率比信号频率低的场合，如在一些靠近电源线的敏感信号线上滤除电源谐波造 成的干扰。 （3）带通滤波器（BPF）它允许一定频段的信号通过，抑制低于或高于该频段的信号、 干扰和噪声。用于信号频率仅占较窄带宽的场合，如通信接收机的天线端口上要安装 带通滤波器，仅允许通信信号通过。
24、（4）带阻滤波器（BSF）它抑制一定频段内的信号，允许该频段以外的信号通过。用 于干扰频率带宽较窄，而信号频率较宽的场合，如距离大功率电台很近的电缆端口处 要安装带阻频率等于电台发射频率的带阻滤波器4。 1.3 数字滤波器的设计要求 1.4.1 数字滤波器的设计过程： （1）按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标 （2）用一个因果稳定的离散 LSI 系统的系统函数 H(z)逼近此性能指标 （3）利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等 （4）实际技术实现：软件法、硬件法或 DSP 芯片法。 1.4.2 数字滤波器是技术要求： N i i i M i i i za zb z
25、H 1 0 1 )( 1 0 )()( N n n znhzH 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 5 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数 H(e j)用下式表示： 幅频特性|H(ej)|： 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。 相频特性 ()： 各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。 理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近： 通带内和阻带内允许的衰减一般用 dB 数表示，通带内允许的最大衰减用 p 表示，阻 带内允许的最小衰减用 s 表示， p 和 s 分别定义为： 滤波器设计的首要任务是要确定满足技术指标要求的系统函数，系统函数必须
26、是物理可实现的，因而要满足因果性和稳定性。由于 )(j)( j HsH s 为复数 )(jImj)(jRee| )(j|)(j )(j HHHH 则有 j 2 )()()j()(j| )(j| s sHsHHHH 由于集总系统的系统函数 )(sH 是 s 的有理函数，则 )()(sHsH 是 2 s 的有理函数， 2 | )j (|H 必为 2 的有理函数 1。 第二章 IIR 数字滤波器的设计方法 2.1 IIR 数字滤波器的特点 )( jj j e)H(e)H(e dBeH20dB eH eH 20 p p 0 j j j p )(lg )( )( lg dBeH20dB eH eH 20
27、 s s 0 j j j s )(lg )( )( lg 通带截止频率。为，为我们称此时的 ，时，当 3dB 3 0.707 2 2 )( ccp p p dBeH j 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 6 IIR 数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。 IIR 数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR 滤波器运算结构通 常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、 并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积， 有时会产生微弱的寄生振荡。 IIR 数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，
28、如巴特沃斯、契比雪 夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工 具的要求不高。在设计一个 IIR 数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公 式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。 IIR 数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。 在 MATLAB 下设计 IIR 滤波器可使用 Butterworth 函数设计出巴特沃斯滤波器，使 用 Cheby1 函数设计出契比雪夫 I 型滤波器，使用 Cheby2 设计出契比雪夫 II 型滤波器， 使用 ellipord 函数设计出椭圆滤波器。下面主要介绍前两个函数的
29、使用。 与 FIR 滤波器的设计不同，IIR 滤波器设计时的阶数不是由设计者指定，而是根据 设计者输入的各个滤波器参数（截止频率、通带滤纹、阻带衰减等），由软件设计出 满足这些参数的最低滤波器阶数。在 MATLAB 下设计不同类型 IIR 滤波器均有与之对应 的函数用于阶数的选择。 IIR 单位响应为无限脉冲序列 FIR 单位响应为有限的 IIR 幅频特性精度很高，不是线性相位的，可以应用于对相位信息不敏感的音频信 号上； FIR 幅频特性精度较之于 IIR 低，但是线性相位，就是不同频率分量的信号经过 FIR 滤波器后他们的时间差不变。这是很好的性质。 另外有限的单位响应也有利于对数字信号的
30、处理，便于编程，用于计算的时延也小， 这对实时的信号处理很重要3。 2.2 IIR 数字滤波器的设计步骤 IIR 滤波器的设计就是根据滤波器的性能指标要求，设计滤波器的分子和分母多项 式系数。它和 FIR 滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求的前提下，IIR 滤波器的 阶数明显要低于 FIR 滤波器，但 IIR 滤波器的相位是非线性的。 在数字滤波器设计中，首先让我们想到的是能否利用模拟滤波器的设计成果进行数 字滤波器设计，答案是肯定的。现在我们所讲的 IIR 经典设计就是将已设计好的模拟 滤波器按一定变换原理转换为数字滤波器。该方法先根据滤波器的技术指标设计出相 应的模拟滤波器，然后再将设
31、计好的模拟滤波器变换成数字滤波器。 在 MATLAB 中，经典法设计 IIR 数字滤波器主要采用以下步骤： 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 7 由图可见，IIR 滤波器设计利用了模拟滤波器的设计成果。第一步和第二步在前面 已详细讨论过。第二步完成后，一个达到期望性能指标的模拟滤波器（低通、高通、 带通、带阻等）已经设计出来。第三步模拟离散化的主要任务就是把模拟滤波器变换 成数字滤波器，即把模拟滤波器的系统函数H(s)映射为数字滤波器的系统函数H(z)。 这样，数字滤波器的设计工作全部完成3。 2.3 IIR 数字滤波器的设计步骤 脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，这种方
32、法适用 于系统函数可以用部分分式分解成单阶极点和滤波器是一个 带限系统的情况，它使数字滤波器的冲击响应h(n）等于模拟滤 波器的单位冲击响应 ha(t)的采样值 数字滤波器的脉冲响应与模拟滤波器的脉冲响应相似。以时问问隔T 对其进 行采样，得到 h(n)， 经过 z=esT 式的映射，可知： s 平面的左半平面映射为 z 平面的单位圆 内， 因此一个因果的和稳定的模拟滤波器映射成因果的和稳定的数字滤波器。 脉冲响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，由于s 平面到 z 平面 的多值映射关系，会导致数字滤波器频率响应出现混叠现象 3。 2.3.1 设计原理 脉冲响应不变法的基本思路是直接
33、设计一个数字滤波器并让它的时间特性逼近 一个模拟滤波器。为了达到时间特性的最佳逼近，它把模拟滤波器冲激响应的均匀 取值，作为数字滤波器的单位脉冲响应，即 然后将 h(n)通过 z 变换即求得 H（z） 。脉冲响应不变法实即时域取样法， 整个过程是先根据给定的指标设计一个模拟滤波器，进而按下列变换的顺序，最后 求得数字滤波器的系统函数 H（z） ，即： 例如已知一模拟滤波器其系统函数为： 模拟低通滤波器原型 /buttap,cheb1ap, cheb2ap,ellipap, besselap 频率变换 /lp2lp,lp2hp, lp2bp,lp2bs 模拟离散化 /bilinear,impin
34、var IIR 数字滤 波器 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 8 则有 ， 故得 比较 H1（z）与 H1（s）可见，从模拟的系统函数变换为数字的系统函数， 其极点从 s=p1变换为 z=ep1T，它们之间存在着： （8.3） 的映射关系。对任一物理可实现的模拟滤波器来说，由于系统函数是s 的有 理函数，所以从 H(s)变换到 H（z）存在有： 即 式子所表示的映射关系，正是拉氏变换与z 变换之间的映射关系。这说明脉冲 响应不变法完全满足上节所述的设计IIR 滤波器的两个基本条件。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序 列 h(n) 模仿模拟
35、滤波器的冲击响应 ha(t), 使 h(n)正好等于 ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT) T 为采样周期。如以 Ha(s)及 H（z）分别表示 ha(t)的拉氏变换及 h(n)的 z 变换， 即 Ha(s)=Lha(t) H(z)=Zh(n) 则根据采样序列 z 变换与模拟信号拉氏变换的关系，得 : 上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完 成的 S 平面到 Z 平面的变换，正是以前讨论的拉氏变换到Z 变换的标准变换关系， 即首先对 Ha(s)作周期延拓，然后再经过 z=est的映射关系映射到 Z 平面上。 z=est的映射关系表明， S 平面上每一条宽为
36、 2/T 的横带部分，都将重叠地 映射到 Z 平面的整个全部平面上。每一横带的左半部分映射到Z 平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到 Z 平面单位圆以外， j 轴映射在单位圆上，但 j 轴 上的每一段 2/T 都对应于绕单位圆一周，如下图所示： 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 9 图-1 脉冲响应不变法的映射关系 应当指出， Z=est的映射关系反映的是 Ha(s)的周期延拓与 H（z）的关系，而 不是 Ha(s)本身与 H（z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到 H(z) 并没有一个由 S 平面到 Z 平面的简单代数映射关系，即没有一个s=f(z)的
37、代数关 系式。另外，数字滤波器的频响也不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤 波器频响的周期延拓，周期为 S=2/T=2fs，即 正如第一章采样定理中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率 S/2 以内，即 Ha(j)=0 |/T 这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（在折叠频率以内） | 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避 免地存在频谱的交叠，即混淆，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的 频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小， 这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 基于
38、 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 10 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达的传递函数，模拟滤波器的传递 函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数NM，则可表达为部分分式 形式： 其拉氏反变换为： 其中 u(t)为单位阶跃函数。对 ha(t)采样就得到数字滤波器的单位脉冲响应序列 再对 h(n)取 Z 变换，得到数字滤波器的传递函数： 第二个求和为等比级数之和， ，要收敛的话，必有 ，所以有 比较部分分式形式的 Ha(s)和上式 H(z)可以看到， S 平面上的极点 s=si,变换到 Z 平面上是极点 ,而 Ha(s)与 H(z)中部分分式所对应的系数不变。如果模 拟滤波器
39、是稳定的，则所有极点 si都在 S 左半平面，即 Resi0,那么变换后 H(z)的 极点 也都在单位圆以内，即 | |= 1，因此数字滤波器保持 稳定。 值得注意的是，这种 Ha(s)到 H(z)的对应变换关系，只有将 Ha(s)表达为部分 分式形式才成立。 虽然脉冲响应不变法能保证 S 平面与 Z 平面的极点位置有一一对应的代数关 系，但这并不是说整个 S 平面与 Z 平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字 滤波器的零点位置与 S 平面上的零点就没有一一对应关系，而是随着Ha(s)的极 点 si与系数 Ai的不同而不同。 H(ej) 是 Ha(j)的周期延拓（周期为 fs） ，因 Ha(
40、j)并不是带限，即在超过 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 11 fs 频率部分并不为 0，所以就产生了混迭。当为低通或带通滤波器时， fs 越大， 则 Ha(j)的下一周期相隔越远，混迭也就越小。当为带阻或高通滤波器时， Ha(j)在超过 fs/2 频率部分全为通带，这样就不满足抽样定理，发生了完全的混迭， 所以脉冲响应不变法不能设计带阻或高通滤波器 4。 2.3.2 脉冲相应不变法优缺点 在要求时域脉冲响应能模仿模拟滤波器的场合，一般使用脉冲响应不变法。 脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的， 与 是线性关系。因此如果模拟滤波的频响带限于折叠频率以内的话，
41、通过变换后 滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位 的低通数字滤波器。 如果 Ha(s)是稳定的，即其极点在 S 左半平面，映射到 H(Z)也是稳定的。 脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响 特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至 于高通和带限滤波器 ,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。 所以用脉冲响应不变法实现高通和带限滤波器时，应增加一保护滤波器，滤掉高于 折叠频率以上的频带，然后再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计
42、 的复杂性和滤波器的阶数，只有在一定需要频率线性关系或保持网络瞬态响应时才 采用4。 2.3.3 应用实例 【例 1】用脉冲响应不变法设计 Butterworth 低通数字滤波器，要求通带频率为 2 . 00 ，通带波纹小于 1dB，阻带在 3 . 0 内，幅度衰减大于 15dB，采样 周期 T=0.01s。假设一个信号 tftftx 21 2cos5 . 02sin)( ，其中 f1=5Hz,f2=30Hz。试将 原信号与经过该滤波器的输出信号进行比较。 %Samp6_6 wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;Rs=15; %数字滤波器截止频率、通带波纹和阻带衰减 T=0.01;
43、Nn=128; %采样间隔 Wp=wp/T;Ws=ws/T; %得到模拟滤波器的频率采用脉冲响应不变法的频率转换 形式 N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s); %计算模拟滤波器的最小阶数 z,p,k=buttap(N); %设计低通原型数字滤波器 Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); %零点极点增益形式转换为传递函数形式 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 12 b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn); %低通滤波器频率转换 bz,az=impinvar(b,a,1/T); %脉冲响应不变法设计数字滤波器传递函数 figure(1) H,f=freq
44、z(bz,az,Nn,1/T); %输出幅频响应和相频响应 subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H); xlabel(频率/Hz);ylabel(振幅/dB);grid on; subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H) xlabel(频率/Hz);ylabel(相位/o);grid on; figure(2) f1=5;f2=30; %输入信号含有的频率 N=100; %数据点数 n=0:N-1;t=n*T; %时间序列 x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t); %输入信号 sub
45、plot(2,1,1),plot(t,x),title(输入信号) y=filtfilt(bz,az,x); %对信号进行滤波 subplot(2,1,2),plot(t,y),title(输出信号),xlabel(时间/s) 程序的运行结果为图 2 和图 3。该例所要求的通带频率为 2 . 00 ，而该滤波 器的采样间隔为 0.01s，采样频率为 100Hz，即 2对应于 100Hz，则 0.2对应于 10Hz，即该滤波器的通带范围为 010Hz。观看图 6-6 上图，其通带范围最大衰减小于 1dB，与该分析一致。题意要求阻带在 3 . 0 内，幅度衰减大于 15dB。其中 0.3 对应于
46、15Hz，幅度衰减大于 15dB。完全符合滤波器设计的要求。测试信号中含有 5Hz 和 30Hz 的信号，显然，5Hz 可以通过该滤波器，而 30Hz 的信号不能通过该滤波 器。从输出信号可以看出，滤波器滤去了 30Hz 的高频信号，达到了滤波要求。 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 13 05101520253035404550 -600 -400 -200 0 一 一 /Hz 一 一 / o 05101520253035404550 -80 -60 -40 -20 0 一 一 /Hz 一 一 /dB 图-2 例 1 设计的滤波器的频率特性 上图：幅频特性；下图：相频特性
47、00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -2 -1 0 1 2 一 一 一 一 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -2 -1 0 1 2 一 一 一 一 一 一 /s 图-3 例 1 设计滤波器的输入和输出信号4 基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计与仿真 14 2.4 双线性变换法设计IIR数字滤波器 2.4.1 设计原理 双线性变换法的基本思想是首先按给定的指标设计一个模拟滤波器，其次将这 个模拟滤波器的系统函数 H (s)，通过适当的数学变换方法把无限宽的频带，变换 成频带受限的系统函数 H (s)。最后再将 H (s)进行常规 z
48、变换，求得数字滤波 器的系统函数 H (z)。这样由于在数字化以前已经对频带进行了压缩，所以数字化 以后的频响可以做到无混叠效应。显然，这里寻找压缩频带而又能满足上述映射条 件的变换式是个关键。 设将 s 平面映射到 s平面存在下列的关系式 （a） 式中 s = + j，C 为变换常数，在式的右边是以 表示的周期函数， 其周期为 2 / T。如果考虑频率特性则分别以 s = j， s = j代入式故得： （b） 现以 为纵坐标，=T 为横坐标，则模拟与数字频率变量间的关系将如 图 8.1 所示。结合式（ a）不难看出； s 的左半平面与 s的左半平面相对应； s 的 右半平面与 s的右半平面相对应； s 平面的虚轴与 s平面的虚轴相对应。它们之 间主要的区别在于 s 平面-0.3 时，而且随着 的增加差别更大。为此，若关