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1、直线与圆锥曲线 的位置关系,一.知识要点,1.直线与椭圆的位置关系,(1)位置关系,相交 相切 相离,(割线),(切线),(2)判定方法: 将直线与椭圆的方程联立消去一个 未知数,得到一个一元二次方程.,2.直线与双曲线的位置关系,(1)位置关系,相交-有两个交点或一个交点(直线与 渐近线平行). 相切-有且只有一个公共点,且直线 不平行于双曲线的渐近线. 相离-无公共点.,(2)判定方法: 将直线与双曲线的方程联立消去一个 未知数,得到一个一元二次方程.,3.直线与抛物线的位置关系,(1)位置关系,相交-有两个交点或一个交点 (直线与抛物线的对称轴平行). 相切-有且只有一个公共点,且直 线
2、不平行于抛物线的对称轴. 相离-无公共点.,(2)判定方法: 将直线与抛物线的方程联立消去一个未知数,得到一个一元二次方程.,(4)弦中点问题：“点差法”、“韦达定理法”,4.解题方法与公式,(1)“设而不求”法,(2)韦达定理的应用,(3)弦长公式： 设直线 l与圆锥曲线C 相交于 A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，则 |AB| 其中 k 是直线的斜率.,题型1.判断直线与圆锥曲线的位置关系,二.主要题型,分析因为点（0,m）是在y轴上运动，此时点（0，m）在椭圆内部或椭圆上，当然存在两条直线l1、l2相互垂直且与椭圆都有公共点，如果|m|3,从l1和l2是过（0,m）的两条相互
3、垂直的直线且与椭圆都有公共点知，它们都不可能平行坐标轴.,解析,点评注意运用过封闭曲线内的点的直线与此曲线相交这一性质.,题型2. 直线与圆锥曲线的相交弦问题,3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两个不同动点A、B满足AOBO（如图） (1)求AOB的重心（即三条中 线的交点）G的轨迹方程. (2) AOB的面积是否存 在最小值？若存在，请求 出最小值；若不存在，请说 明理由.,分析,解析(1)法(一) 设G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),点评 (1)法(一)，避免了联立方程，但法(二)较易入手，较顺. (2)中，法(一)求最值较轻松，法(二)是用均
4、值不等式求最值.,4. 如图，A、B为抛物线y2=2px上两个点，且OAOB（O为原点） (1)求证直线AB必过一定点. (2)求弦AB的中点M的轨迹方程.,解析设AB:x=my+c与抛物线联立,题型3.圆锥曲线弦的中点问题,点评 （1）弦的中点问题，一般可用“点差法”求解，（即本题的解法）.知弦的中点坐标，则可以求弦所在直线的斜率.（2）探究性问题，一般以存在进行求解，求解过程出现矛盾，则不存在.本题要验证直线与双曲线是否相交.,题型4.圆锥曲线的最值及范围问题,例1在椭圆7x2+4y2=28上求一点 ，使它到直线 l：3x-2y-16=0的距离最短，并求此距离.,分析 【思路分析一】几何法；椭圆上距离直线l最近的点是一平行于直线l：3x-2y-16=0,且与椭圆相切的直线的切点. 【思路分析二】代数法：利用椭圆的参数方程 ，设椭圆上点为( )，再用点到直线距离公式得到距离表达式d=f()最小值.,解析,分析利用条件得到 的表达式是解题的关键，求k的范围要充分利用好判别式和韦达定理，得到有关的不等式即可.,解析,点评遇到向量，可用坐标表示后于解决问题，(2)问中AOB为锐角可“翻译”成 进而再用坐标表示,分析本题是直线与双曲线相交问题，解答的关键是熟练利用方程的判别式及韦达定理.,解析,