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1、一、条件概率,二、乘法定理,三、全概率公式与贝叶斯公式,四、小结,第五节 条件概率,分析,一、条件概率,例1,将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的,情况.,次掷出同一面”.,将事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率记为,同理可得,为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,1. 定义,称,2. 性质,1。非负性:,2。规范性:,3。可列可加性:,事件,则有,例2,一个盒子装有4只产品,其中有3只一等品,二等品.,从中取产品两次,每次任取一只,作不放,回抽样.,试求条件概,解,此为古典概型问题.,先将产品编号,1,2,3号为,一等品;,4号为二等品.,第二次,1只,由定义,得条件概
2、率,故可得,二、乘法定理,乘法定理,则有,推广,则有,一般,且,则有,例3,每次自袋中任,取一只球,观察其颜色然后放回,取出的那只球同色的球.,若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球,的概率.,解,所求概率为,此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.,例4,设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打,破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下,打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次,落下打破的概率为9/10.,试求透镜落下三次而未打,打破的概率.,解,故有,另解,按题意,故有,更多例题,补充例题,即有,1. 样本空间的划分,三、全概率公式与贝叶斯公式
3、,定义,若,定理,则,称为全概率公式.,2.全概率公式,得到,证,因为,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,图示,化整为零各个击破,例5,有一批同一型号的产品，,已知其中由一厂生,产的占 30%，,二厂生产的占 50%，,三厂生产的占,20%，,又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多,少?,解,设事件 A 为“任取一件为次品”,30%,20%,50%,2%,1%,1%,由全概率公式得,定理,则,此式称为贝叶斯公式.,3. 贝叶斯公式,贝叶斯资料
4、,那么,全概率公式和贝叶斯公式变为,证,由条件概率的定义及全概率公式得,例6,某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件,制造厂提供的.,根据以往的记录有以下的数据,设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且无区,别的标志.,(1) 在仓库中随机地取一只元件,求它是,次品的概率;,(2) 在仓库中随机地取一只元件,若已,知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出,此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.,试求这,些概率.,解,而且有,易知,(1) 由全概率公式,(2) 由贝叶斯公式,以上结果表明,这只次品来自第2家工厂的可能性,最大.,例7,对以往数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为9
5、8%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.,每天早上机器开动时,机器调整,良好的概率为95%.,试求已知某日早上第一件产品,是合格品时,机器调整良好的概率是多少?,解,整良好”.,已知,由贝叶斯公式,这就是说,当生产出的第一件产品是合格品时,此,时机器调整良好的概率为0.97.,上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.,先验概率与后验概率,例8,根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具,有如下效果:,现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,解,由贝叶斯公式,本题结果表明,这两个概率都比较高.,但若将此试验用于普查,则有,亦即正确性只有8.7%.,如果不注意,这一点,将会得出错误的诊断.,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结,乘法定理,贝叶斯资料,Thomas Bayes,Born: 1702 in London, England Died: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England,返回,