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1、一、 极限的四则运算法则,二、复合函数的极限运算法则,第五节 极限运算法则,第一章 函数与极限,第一章,一、 极限的四则运算法则,证: 因,则有,(其中 , 为无穷小),于是，,又由无穷小性质知, 也是无穷小,再利用函数极限与无穷小的关系定理 , 得证 .,定理1.,推论:,利用保号性定理的推论证明 .,注: 定理 1（极限的加减法） 可推广到有限个函数相加、减的情形 .,分析: 令,定理2 .,注: 定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1.,( C 为常数 ),推论 2.,( m 为正整数 ),例1. 设 n 次多项式,试证,证:,(极限的乘法，课后自证),定理3 .,且 B0
2、 , 则有,证: 因,则,其中 , 为无穷小.,令,无穷小,有界,因此 为无穷小,从而,极限的除法,定理4 .,注:,因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由,前面的各定理直接得出结论 .,例2.,证:,注:,不能直接用商的运算法则 .,例3.,例4 .,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,例5 .,解:,x 时,分子 .,分子分母同除以,则,分母 ,原式,注: 当 x 时通常将分子、分母同除以 x 的 最高次幂 .,一般有如下结果：,二、 复合函数的极限运算法则,定理5. 设 f g(x)由函数 f (u) 和 u = g(x)复合而成，,证:,故,因此式成立.,注：
3、定理中若,则类似可得,相当于作一个变量代换！,定理5. 设 f g(x)由函数 f (u) 和 u = g(x)复合而成，,例6.,解:,已知,故 原式 =,原函数可看作由,例7 .,解: 方法 1,则,令,故 原式,方法 2,小结,1. 极限运算法则,(1) 极限四则运算法则(无穷小运算法则),(2) 复合函数极限运算法则,注意使用条件!,2. 求函数极限的方法,a. 有理分式函数极限求法,用代入法，分母不为 0直接代入。分母为 0 时， 若分子也为 0 ，则约去公因子，否则就“上下交换”得到极限为.,分子分母同时除以最高次幂,c. 复合函数极限求法,设中间变量,b. 无理分式函数极限求法,变量代换,分子(母)有理化,课堂练习,1.,2.,3.,解法 1,原式 =,解法 2,原式 =,4.,解 :,则,故,因此,