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1、学案2 数形结合思想,1.集合及其运算. 2.函数图象解决问题. 3.三角函数图象及其应用. 4.向量运算的有关问题. 5.圆锥曲线及其相关元素的图形特征与定义间的内在联系. 6.数学概念及数学表达式间的几何意义的应用. 7.解析几何与立体几何问题中的数形结合.,1.已知0a1,则方程a|x|=|logax|的实数根的 个数为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个 解析 在同一坐标系下，画出函数y=a|x|， y=|logax|的图象，则图象有两个交点.,B,2.设数集M=x|mxm+ ，数集N=x|n- x n，且M，N都是集合x|0x1的子集，如果把 b-a叫做集合x
2、|axb的“长度”,那么集合MN 的长度的最小值为 （ ） A. B. C. D. 解析 由题意知.集合M的“长度”为 ，集合N 的“长度”为 ，而集合x|0x1的“长度” 为1；设线段AB=1， ，a，b可在线段 AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为MN. 如图，显然当a，b各自靠近,AB两端时，重叠部分最短,其值为 . 答案 C 3.若奇函数f(x)在（0,+）上是增函数，又f(-3) =0， 则x|xf(x)0等于 （ ） A.x|x3或-3x0 B.x|0x3或x-3 C.x|x3或x-3 D.x|0x3或-3x0 解析 由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0. 又f(
3、x)在（0,+)上是增函数，据上条件做出满足 题意的y=f(x)草图，,如图，如右图中找出f(x)与x异号 的部分，可以看出xf(x)0的解 集为x|0x3或-3x0. 答案 D A. B. C. D. 解析 由题意在坐标系下画出|x|+|y|1,的图象如右图阴影部分， 若x=0时，|y|1,此时u=0; 若x0时，变量 可看成点A (0，3)与可行域内的点B连线斜率k的 倒数,而k(-,-33,+), 答案 B,题型一 代数问题“几何化”以形助数 【例1】 解 由题意令 所以x2+2y2= 16(0x4,0y ),其图象 如右图所示，原式A=x+y其几何 意义是直线在坐标轴上的截距，,则 A
4、=x-y 【探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对 “数”的形式进行观察、分析，把“数”转成 图形，再借助其几何意义，通过“换元”使问 题得以顺利解答.,变式训练1 解析 则3x2+y2=3,即 (x0,y0)，又A=x-y, 所以A的几何意义是直线在 x轴上的截距，其图形如图， 则A ,1.,题型二 几何问题“代数化”以数助形 【例2】设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直 线l:4x-3y-8=0的距离d最小，求点M的坐标及 距离d的最小值. 解 方法一 设点M（m,m2）, 方法二 设过点M平行于直线l与抛物线相切的,直线方程为4x-3y+b=0,则 整理得3x2-4x-b=0, 由
5、题意可知=42+12b=0, 方法三 如图所示,若想使抛物线上的 点到直线l的距离最小，只需抛物线在 点M处的切线与直线l平行即可,因为直 线l的斜率为 ,抛物线的导数为y=2x,【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设 出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求最值，是 解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离 也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简 单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的 应用,注意体会.,变式训练2 设F1、F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存 在点P,使F1PF2=120,则椭圆的离心率e的取值范 围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选A.采用数
6、形结合法, 如图, 当P与B重合时, 当P与B不重合 时,显然F1PF2 故选A.,A,题型三 “数”“形”互化，相得益彰 【例3】已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶 点且过点（1，1），反比例函数y=f2(x)的图象 与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x） +f2（x）. （1）求函数f(x)的表达式； （2）证明：当a3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三 个实数解. （1）解 由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, f1（x）=x2.设 (k0)，它的图象与直线 y=x的交点分别为,由|AB|=8，得k=8, (2)证明 方法一 由f(x)=
7、f(a),得 .在同一坐标系 内作出 的大致图象，其 中f2(x)的图象是位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的 图象是以(0, )为顶点，开口 向下的抛物线.因此f2(x)与f3(x) 的图象在第三象限有一个交点， 即f(x)=f(a)有一个负数解. 又f2（2）=4，f3（2）= ，,当a3时，f3(2)-f2(2)=a2+ -80, 当a3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点 (2,f3(2)在f2(x)图象的上方. f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点， 即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此，在a3时，方程f(x)=f(a)有三个实数解. 方法二 由f(x)=f(a
8、),得 即 得方程的一个解x1=a. 方程 化为ax2+a2x-8=0, 由a3,=a4+32a0,得,a3,x1x2,若x1=x3, 则3a2= ,a4=4a, 得a=0或a= ,这与a3矛盾, x1x3.故原方程有三个实数解. 【探究拓展】在解答此类问题时，注意将方程 f(x)=g(x)转化成函数，然后在同一坐标系下 画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，通过研究 函数图象交点的个数，来确定方程解的个数或 函数零点的个数.,变式训练3 定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时, f(x)=2 009x+log2009x,则在R上f(x)=0的实数根的个 数是_. 解析 因当x0时，f(
9、x)=0, 即-2 009x=log2 009x,在 同一坐标系中画出函数y= -2 009x,y=log2 009x的图象，如图，设图象相交于点 M，即方程f(x)=0有一解；又f(x)是定义在R上的奇 函数，所以x=0是方程f(x)=0的解，当x0时,方程 f(x)=0有一解，故f(x)=0的实数根有3个.,3,【考题再现】 （2008四川）已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2- 10x的一个极值点. (1)求a; (2)求函数f(x）的单调区间； (3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点， 求b的取值范围.,【解题示范】 (1)因为 所以f(3)= +6-10=0
10、,因此a=16. 2分 (2)由(1)知f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x(-1,+), 3分 当x(-1,1)(3,+)时，f (x)0; 4分 当x (1,3)时，f(x)0. 5分 所以f(x)的单调增区间是(-1,1)，(3,+)； f(x)的单调减区间是(1，3). 6分,(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1，3) 内单调递减，在(3,+)内单调递增，且当x=1或x=3 时，f(x)=0, 所以f(x)的极大值为f(1)=16ln 2-9， 极小值为f(3)=32ln2-21. 9分 所以在f(x)的三个单调区间 (-1，1),(1，3),(3，+)
11、上， 直线y=b与y=f(x)的图象各有一个交点， 当且仅当f(3)bf(1）. 11分 因此，b的取值范围是(32ln 2-21,16ln 2-9). 12分,数形结合的本质是几何图形的性质反映了数量关系， 数量关系解决了几何图形的性质.数形结合思想方法 的应用可分为两种情况：借助于“数”的精确性来 阐明“形”的属性；借助于“形”的直观来阐明 “数”之间的关系.数形结合的基本思路:根据“数” 的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用 图形的特征和规律，解决数的问题；或将图形信息部 分或全部转换成代数信息，削弱或消除“形”的推理 部分，把要解决的“形”的问题转化为数量关系的讨 论.,一、
12、选择题 1.不等式|x| 的解集为 （ ） A.x|x2或x2 C.x|-12时， y=|x|的图象恒在y= 的图 象的上方.,B,2.已知函数f(x)=log2(x+1),且abc0,则 的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 解析 作出函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图，而 的几何意义是图象上的点与坐标原点连线 的斜率，由图象可知,B,3.平面上的点P（x,y)使关于t的二次方程t2+tx+y=0 的根都是绝对值不超过1的实数，那么这样的点P的 集合在平面内的区域形状是 （ ） 解析 因为方程t2+tx+y=0的根都是绝对值不超过1的 实数，所以 画出不等式组所表 示的平面
13、区域可知.,D,4.已知函数f(x)=|x2+2x|，若关于x的方程f2(x)+bf(x) +c=0有7个不同的实数根，则b,c的大小关系是( ) A.bc B.bc或bc中至少有一个正确 C.bc D.不能确定 解析 令f(x)=t,则 f2(x)+bf(x)+c=0 可化为t2+bt+c=0 要使有7个根，即f(x)=|x2+2x| 与f(x)=t有7个交点.如图，所以方,程必有两解，而f(x)=t中的一条直线经过f（x）= |x2+2x|折上去的顶点，故式有一解t1=1,另一解 t2(0,1)，所以b=-(t1+t2)(-2,-1),c=t1t2 (0,1). 答案 C,5.已知实数 ，
14、则实数A的取 值范围是 （ ） A. B. C. D. 解析 原式可看成点P(1,3) Q( )两 点连线的斜率. (0y1)； 所以x2+y2=1 (-1x0).点Q位于单位圆在第二象 限的圆弧上且端点的坐标分别是B(-1,0),C(0,1). kPB= ，kPC=2.设过点P与圆弧有公共点的直线方,程为l：kx-y-k+3=0，则 1，即k .结合图象，可 得A ,2. 答案 C,二、填空题 6.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+1，且ab,若m、n是方 程f(x)=0的两根，且mn,则实数a,b,m,n的大小关 系是_. 解析 设函数g(x)=(x-a)(x-b), 则f(x)=g
15、(x)+1,所以函数f(x)的 图象是把函数g(x)的图象向上平 移一个单位，则在同一坐标系 中，作出函数g(x)、f(x)的图象 如右图，由图象可知：实数amnb.,amnb,7.函数y=f(x)=sin x+2|sin x| (x0，2) 的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数 k的取值范围是_. 解析 在坐标系中作出函数y=f(x)的图象，如图， 因为直线y=k与y=f(x)的图象有且仅有两个不同的 交点，有图象可知：1k3.,（1，3 ),8.动点P（a,b)在不等式组 表示的平面 区域内部及边界上运动，则 的取值范围 是_. 解析 因为 ,而 表示点（1，2）与点 （a，b
16、）连线的斜率,则 (-,-22,+)，所以 (-，-13，+).,(-,-13,+),9.已知实数 ,则实数M的取值范围是 _. 解析 因为实数 , 所以0a 2,又 = 令x=a-1,则 (x-1,1)， 所以实数M可看成点P(2,0) Q（x， ）两点 连线的斜率.而点Q位于圆x2+y2=1（x-1，1， y0）上,当直线PQ与半圆弧相切时，此时的斜率 最小,因|OQ|=1,|OP|=2,OPQ=30,则kPQ= , 结合图形综上可知：M ,0, ,0,三、解答题 10.若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x(0,3)内有唯 一解，求实数m的取值范围. 解 原方程即为 即 设y
17、1=(x-2)2,x(0,3),y2=1-m, 其图象如图， 由图象可知： 当1-m=0时，有唯一解，即m=1; 当11-m4时，有唯一解，即-3m0. 综上可知：m=1或-3m0.,11.如图,A,B,C为函数 的图象上的三点， 他们的横坐标分别是t,t+2,t+4 (t1). (1)设ABC的面积为S，求S=f(t)的解析式； (2)判断函数S=f(t)的单调性； (3)求函数S=f(t)的最大值. 解 (1)过点A，B，C分别作AD,BE,CF垂直于x轴， 垂足分别为D，E，F. 则S=S梯形ADEB+S梯形BEFC-S梯形ADFC.,（2）因为v=t2+4t在1,+)上是增函数，且v5, u=1+ 在5，+)上是减函数，且1u ; S=log3u在(1， 上是增函数， 所以复合函数S=f(t)=log3(1+ ) 在1,+)上是减函数. (3)由(2)知t=1时，S有最大值， 其最大值为S=f(1)=log3 =2-log35.,返回,