物理光学与应用光学第二版课件第四章.ppt

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1、第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性,4.1 晶体的光学各向异性 4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播 4.3 平面光波在晶体界面上的反射和折射 4.4 晶体光学元件 4.5 晶体的偏光干涉 例题,4.1 晶体的光学各向异性,4.1.1 张量的基础知识 1. 张量的概念 张量是使一个矢量与一个或多个其它矢量相关联的量。例如，矢量p与矢量q有关，则其一般关系应为,(4.1 - 1),pTq,式中，T是关联p和q的二阶张量。在直角坐标系O-x1x2x3中，上式可表示为矩阵形式,(4.1 - 2),式中，三个矩阵分别表示矢量p、二阶张量T和矢量q。二阶张量有9个分量， 每个分量都与一对坐标(按

2、一定顺序)相关。(4.1-1)式的分量表示式为,(4.1 - 3),其一般分量形式为,(4.1 - 4),按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为 pi=Tijqj i,j=1, 2, 3 (4.1 - 5) 由上述讨论可以看出，如果T是张量，则p矢量的某坐标分量不仅与q矢量的同一坐标分量有关， 还与其另外两个分量有关。,如果矢量p与两个矢量u和v相关，则其一般关系式为,(4.1-6),分量表示式为,pi=Tijkujvk i, j, k=1, 2, 3,(4.1-7),式中，uv为并矢；T为三阶张量，包含 27 个分量，其矩阵形式为,(4.1-8)

3、,实际上，一个标量可以看做是一个零阶张量，一个矢量可以看做是一个一阶张量。从分量的标记方法看， 标量无下标， 矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。 因此， 下标的数目等于张量的阶数。,2. 张量的变换 如上所述，由于张量的分量与坐标有关，因而当坐标系发生变化时，张量的表示式也将发生变化。假若在原坐标系 中，某张量表示式为Tij，在新坐标系 中，该张量的表示式为Tij, 则当原坐标系O-x1x2x3与新坐标系 的坐标变换矩阵为aij时， 与 的关系为,(4.1-9),其分量表示形式为,i, j, k, l=1, 2, 3,(4.1-10),这就是张量变换定律。如果用张量的新坐

4、标分量表示原坐标分量，可通过逆变换得到,(4.1-11),如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式A与原坐标系中的表示式A间的矩阵变换关系为,(4.1-12),其分量变换公式为,i, j=1, 2, 3,(4.1-13),3. 对称张量 一个二阶张量Tij，如果其Tij=Tji，则称为对称张量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主轴变换时， 二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张量,最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量， 因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，

5、其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内， 把矩阵写在圆括号内，以示区别。,4.1.2 晶体的介电张量 由电磁场理论已知，介电常数是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足如下关系：,在此，介电常数=0r是标量，电位移矢量D与电场矢量E的方向相同，即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量线性相关。 对于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系为,(4.1 - 15),(4.1 - 14),介电常数 是二阶张量。 (4.1-14)式的分量形式为,i, j=1, 2, 3,(4.1-16),即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量

6、线性相关。 在一般情况下，D与E的方向不相同。 又由光的电磁理论，晶体的介电张量e是一个对称张量， 因此它有六个独立分量。 经主轴变换后的介电张量是对角张量， 只有三个非零的对角分量， 为,(4.1-17),11, 22, 33(或经常表示为e1、e2、e3) 称为主介电系数。由麦克斯韦关系式,还可以相应地定义三个主折射率n1, n2,n3。在主轴坐标系中，(4.1-16)式可表示为,(4.1-19),(4.1-18),进一步，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系：立方晶系、四方晶系、六方晶系、三方晶系、 正方晶系、单斜晶系

7、、三斜晶系。由于它们的对称性不同， 所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表 4 - 1所示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主相对介电系数123,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主相对介电系数1=23,这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，其主相对介电系数1=2=3。,表 4 - 1 各晶系的介电张量矩阵,4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播,4.2.1 光在晶体中传播特性的解析法描述 根据光的电磁理论， 光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。 1. 麦克斯韦方程组 在均匀、不导电、非磁性的各向异

8、性介质(晶体)中， 若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为,(4.2 - 1),(4.2 - 2),(4.2-3),(4.2-4),物质方程为,(4.2-5),(4.2-6),为简单起见，我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。 这样处理，可不考虑介质的色散特性，同时，对于任意复杂的光波，因为光场可以通过傅里叶变换分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加， 所以也不失其普遍性。,2. 光波在晶体中传播特性的一般描述 1) 单色平面光波在晶体中的传播特性 (1) 晶体中光电磁波的结构 设晶体中传播的单色平面光波为,式中， ，是真空中的光速; k是波法线方向的单位矢量；c/n=v，是介质中单色平面光

9、波的相速度。对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以-i代替 ，以(in/c) k代换算符 。经过运算，(4.2-1)(4.2-4)式变为,(4.2-7),由这些关系式可以看出： D垂直于H和k，H垂直于E和k，所以H垂直于E、D、k， 因此，E、D、k在垂直于H的同一平面内。并且，在一般情况下， D和E不在同一方向上。, 由能流密度的定义 S=EH 可见，H垂直于E和s(能流方向上的单位矢量)，故E、D、s、k同在一个平面上，并且在一般情况下，s和k的方向不同，其间夹角与E和D之间的夹角相同(图 4-1)。 由此，我们可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。

10、 (2) 能量密度 根据电磁能量密度公式及(4.2-8)式、(4.2-9)式， 有,(4.2-12),(4.2-13),图 4-1 平面光波的电磁结构,于是， 总电磁能量密度为,(4.2-15),对于各向同性介质，因s与k同方向，所以有,(4.2-14),(4.2-16),(3) 相速度和光线速度 相速度vp是光波等相位面的传播速度，其表示式为,(4.2 - 17),光线速度vr是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度(玻印廷矢量)的方向s，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即,(4.2 - 18),由(4.2-15)(4.2-18)式可以得到,(4.2

11、 - 19),即如图 4-2 所示，单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。,图 4-2 vp与vr的关系 (AB表示波阵面),2) 光波在晶体中传播特性的描述 (1) 晶体光学的基本方程 由麦克斯韦方程组出发，将(4.2-8)和(4.2-9)式的H消去，可以得到,再利用矢量恒等式,A(BC)=B(AC)-C(AB),变换为,D=0n2E-k(kE),(4.2- 20),式中，方括号E-k(kE)所表示的量实际上是E在垂直于k(即平行于D)方向上的分量，记为E(图4-3)。由此，(4.2-20)式可以写成 D=0n2E 我们还可以将(4.2-20)式、(4.2-21)式写成如

12、下所述的另外 一种形式。 因为 E=E cos 所以,(4.2 - 22),(4.2 - 23),(4.2 - 21),图 4-3 E和D的定义,根据折射率的定义,可以在形式上定义“光线折射率”(或射线折射率、 能流折射率)nr:,(4.2 - 25),由此可将(4.2-23)式表示为,(4.2 - 26),(4.2 - 27),(4.2 - 24),或,(2) 菲涅耳方程 为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系，因而物质方程为 Di=0iEi i=1, 2, 3 波法线菲涅耳方程(波法线方程)。将基本方程(4.2-20)式写成分量形式 Di=0n2Ei-ki(kE) i=1, 2, 3

13、(4.2-29) 并代入Dii关系，经过整理可得,(4.2-30),(4.2-28),由于Dk=0， 因而有,将(4.2-30)式代入后， 得到,(4.2-31),该式描述了在晶体中传播的光波法线方向k与相应的折射率n和晶体光学参量(主介电张量) e 之间的关系。,(4.2-31)式还可表示为另外一种形式。根据vp=c/n，可以定义三个描述晶体光学性质的主速度：,它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向x1，x2，x3的相速度。由此可将(4.2-31)式变换为,(4.2-33),(4.2-32),在由(4.2-31)、(4.2-33)式得到与每一个波法线方向k相应的折射率或相速度后，为了确定与波法

14、线方向k相应的光波D和E的振动方向，可将(4.2-30)式展开,(4.2-34),将由(4.2-31)式解出的两个折射率值n和n分别代入(4.2-34) 式，即可求出相应的两组比值 和 ，从而可以确定出与n和n分别对应的E和E的方向。再由物质方程的分量关系求出相应的两组比值 和 ，从而可以确定出与n和n分别对应的D和D的方向。由于相应于E、E及D、D的比值均为实数，所以E和D都是线偏振的。,进而可以证明，相应于每一个波法线方向k的两个独立折射率n和n的电位移矢量D和D相互垂直。证明过程如下： 利用(4.2-30)式， 建立D和D的标量积：,由于(n)2和(n)2都是(4.2-31)式的解，所以

15、上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。 因此， DD=0 由此，可以得到晶体光学性质的又一重要结论：一般情况下，对应于晶体中每一给定的波法线方向k，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的D矢量相互垂直(因而振动面相互垂直)，具有不同的折射率或相速度。 由于E、D、s、k四矢量共面，因而这两个线偏振光有不同的光线方向(s和s)和光线速度(vr 和vr )。通常称这两个线偏振光为相应于给定k方向的两个可以传播的本征模式，其方向关系如图 4-4 所示。,(4.2-35),图 4-4 与给定的k相应的D、E和s, 光线菲涅耳方程(光线方程)。上面讨论的波法线菲涅耳方程

16、确定了在给定的某个波法线方向k上，特许的两个线偏振光(本征模式)的折射率(或相速度)和偏振态。类似地，也可以得到确定相应于光线方向为s的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程光线菲涅耳方程(射线菲涅耳方程、光线方程)。该方程是由(4.2-27)式出发推导出的，推导过程从略，下面只给出具体结果：,(4.2-36),或,(4.2-37),(4.2-36)式和(4.2-37)式描述了在晶体中传播的光线方向s与相应的 光线折射率nr、光线速度vr和晶体的光学参量e 、主速度v1、 v2、v3之间的关系。 类似前面的讨论可以得出如下结论：在给定的晶体中， 相应于每一个光线方向s，只允许有两个特定振动方

17、向的线偏振光(两个本征模式)传播，这两个光的E矢量相互垂直(因而振动面相互垂直)，并且，在一般情况下，有不同的光线速度、不同的波法线方向和不同的折射率。,最后，注意到(4.2-20)式和(4.2-27)式在形式上的相似性， 可以得到如下两行对应的变量：,(4.2-38),如果任何一个关系式在(4.2-38)式关系中某一行的诸量成立，则将该关系式中的各量用(4.2-38)式对应关系中的另一行相应量代替，就可以得到相应的另一个有效的关系式。应用这一规则，(4.2-36)式和(4.2-37)式分别可以由(4.2-31)式和(4.2-33)式直接通过变量代换得出。 并且，无论是根据波法线方程(4.2-

18、31)式、(4.2-33)式，还是根据光线方程(4.2-36)式、(4.2-37)式，都可以同样地完成光在晶体中传播规律的研究。,3. 光在几类特殊晶体中的传播规律 上面从麦克斯韦方程组出发，直接推出了光波在晶体中传播的各向异性特性，并未涉及具体晶体的光学性质。下面， 结合几类特殊晶体的具体光学特性，从晶体光学的基本方程出发， 讨论光波在其中传播的具体规律。 1) 各向同性介质或立方晶体 各向同性介质或立方晶体的主介电系数1=2=3=n02。 根据前面讨论的有关确定晶体中光波传播特性的思路， 将波法线菲涅耳方程(4.2-31)式通分、整理, 得到,代入1=2=3=n20，并注意到k21+k22

19、+k23=1，该式简化为,(4.2-39),由此得到重根 n=n=n0。这就是说，在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率n0 ，或者说，光波折射率与传播方向无关。 进一步，把n=n=n0的结果代入(4.2-34)式，可以得到三个完全相同的关系式,k1E1+k2E2+k3E3=0,(4.2-40),此式即为kE=0。它表明，光电场矢量E与波法线方向垂直。因此，E平行于D，s平行于k。所以，在各向同性介质或立方 晶体中传播的光波电场结构如图 4-5所示。由于(4.2-40)式只限定了E垂直于k，而对E的方向没有约束，因而在各向同性介质或立方晶体中沿任意方向传播的光波，

20、允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态(二偏振方向正交)，相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。,图 4-5 各向同性介质中D, E, k, s的关系,2) 单轴晶体 单轴晶体的主相对介电系数为,(4.2 - 41),其中，neno的晶体，称为正单轴晶体；ne no 时，称为负单轴晶体。 (1) 两种特许线偏振光波(本征模式) 为讨论方便起见，取k在x2Ox3平面内，并与x3轴夹角为，则,k1=0, k2=sin, k3=cos,(4.2 - 42),将(4.2-41)式和(4.2-42)式的关系代入(4.2-31)式，得到,即,(4.2-43),该方程有两个解,(4.2-4

21、4),(4.2-45),第一个解n与光的传播方向无关，与之相应的光波称为寻常光波(正常光波)，简称o光。第二个解n与光的传播方向有关，随变化，相应的光波称为异常光波(非寻常光波、非常光波)， 简称e光。对于e光，当=/2时，n=ne; 当=0 时，n=no。 可见，当k与x3轴方向一致时，光的传播特性如同在各向同性介质中一样，n=n=no，并因此把x3轴这个特殊方向称为光轴。因为在这种晶体中只有x3轴一个方向是光轴，所以称之为单轴晶体。,下面确定两种光波的偏振态。 寻常光波。将n=n=no及k1=0, k2=sin, k3=cos代入(4.2-34)式， 得到,(4.2-46),第一式中，因系

22、数为零，所以E1有非零解；第二、 三式中，因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐次方程，此时，只可能是E2=E3=0。因此，o光的E平行于x1轴，有E=E1i。对于一 般的k方向，o光的E垂直于k与光轴(x3)所决定的平面。又由于D= on2oE，所以o光的D矢量与E矢量平行。, 异常光波。 将n=n及k1=0，k2=sin，k3=cos代入(4.2-34)式，得到,(4.2-47),在第一式中，因系数不为零，只可能是E1=0；在第二、三式中，因系数行列式等于零，E2和E3有非零解。可见，e光的E矢量位于x2Ox3平面内。对于一般的k方向，e光的E矢量位于k矢量与光轴(x3)所确定的平面内

23、。同时，由于D1=01E1=0，因而D矢量也在x2Ox3平面内，但不与E矢量平行。另外，e光的s矢量、k矢量和光轴共面，但s与k不平行。仅当=/2时，E2=0, E矢量与光轴平行，此时，DE, ks，相应的折射率为ne。,综上所述，在单轴晶体中，存在两种特许偏振方向的光波(本征模式)：o光和e光。对应于某一波法线方向k有两条光线：o光的光线so和e光的光线se，如图 4-6 所示。这两种光波的E矢量(和D矢量)彼此垂直。对于o光，E矢量和D矢量总是平行，并且垂直于波法线k与光轴所确定的平面；折射率不依赖于k的方向；光线方向so与波法线方向重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性一样，所以称

24、为寻常光波。对于e光，其折射率随k矢量的方向改变；E矢量与D矢量一般不平行，并且都在波法线k与光轴所确定的平面内，它们与光轴的夹角随着k的方向改变；折射率随k矢量的方向变化；光线方向se与波法线方向不重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性不一样，所以称为异常光波或非常光波。,图 4-6 单轴晶体中的o光和e光,(2) e光的波法线方向和光线方向 由上分析已知，单轴晶体中e光波法线方向与光线方向之间存在着一个夹角，通常称为离散角。确定这个角度，对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。因此，下面对该角度问题进行较详细的讨论。 由光的电磁理论，相应于同一e光光波的E, D, s, k均在垂直

25、于H的同一平面内。若取图4-6中的x3轴为光轴，E, D, s, k均在主截面x2Ox3平面内，k与x3轴的夹角为, s与z轴的夹角为j，且所取坐标系为单轴晶体的主轴坐标系， 则有,因而有,(4.2-49),根据图4-6中的几何关系，有,(4.2-50),(4.2-48),将(4.2-49)式中的两个式子相除， 并利用(4.2-50)式， 可得,(4.2-51),进一步，根据离散角的定义，应有如下关系：,(4.2-52),将(4.2-51)式代入， 整理可得,(4.2-53),由该式可见： 当=0或 90，即光波法线方向k平行或垂直于光轴时，=0。这时，s与k、E与D方向重合。 no, 0，e

26、光的光线较其波法线靠近光轴；对于负单轴晶体，ne no, 0，e光的光线较其波法线远离光轴。 可以证明，当k与光轴间的夹角满足 ,(4.2-54),时，有最大离散角,(4.2-55),证明如下： 将 =-j对求导， 可得,由(4.2-51)式，有,为得到最大离散角M，应令d/d=0，即,由此得到下面的方程：,求解该方程可得：,将该式代入(4.2-51)式，并由(4.2-52)式求出最大离散角为,在实际应用中，经常要求晶体元件工作在最大离散角的情况下，同时满足正入射条件，这就应当如图4 - 7 所示， 使通光面(晶面)与光轴的夹角=90 满足,(4.2-56),图 4 7 实际的晶体元件方向,3

27、) 双轴晶体 双轴晶体的三个主相对介电系数都不相等，即12 3, 因而n1n2n3。通常主相对介电系数按 123 取值。这类晶体之所以叫双轴晶体，是因为它有两个光轴， 当光沿该二光轴方向传播时，其相应的二特许线偏振光波的传播速度(或折射率)相等。由波法线菲涅耳方程(4.2-31)式可以证明，双轴晶体的两个光轴都在x1Ox3平面内，并且与x3轴的夹角分别为和 -，如图 4 - 8 所示。值由,图 4-8 双轴晶体中光轴的取向,(4.2-57),给出。对于小于 45的晶体，叫正双轴晶体; 大于 45的晶体，叫负双轴晶体。由这两个光轴构成的平面叫光轴面。 由(4.2-31)式出发可以证明，若光波法线

28、方向k与二光轴方向的夹角为1和2(图4-9)时，相应的二特许线偏振光的折射率满足下面关系:,(4.2-58),图 4-9 双轴晶体中k方向关系,当1=2=，即当波法线方向k沿二光轴角平分面时，相应的二特许线偏振光的折射率为,(4.2-59),(4.2-60),对于某个给定的光波法线方向k，其相应的二特许线偏振光的光矢量(E,D)振动方向和光线传播方向s，如图 4-4 所示。,4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述 光在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法进行严格的描述外，还可以利用一些几何图形描述。这些几何图形能使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的光速或折

29、射率的空间取值分布。当然，几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。 在传统的晶体光学中，人们引入了折射率椭球、 折射率曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面等六种三维曲面。 限于篇幅和实际的应用需要，这里只着重介绍折射率椭球、 折射率曲面以及菲涅耳椭球和射线曲面。,1. 折射率椭球 1) 折射率椭球方程 由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度为,(4.2-61),故有,(4.2-63),在给定能量密度we的情况下，该方程表示为D(D1、D2、D3)空间的椭球面。,若令,则有,(4.2-64),或,(4.2-65),(4

30、.2-63),这是一个在归一化D空间中的椭球(图 4-10)，它的三个主轴方向就是介电主轴方向，它就是在主轴坐标系中的折射率椭球(或称光率体)方程。对于任一特定的晶体，折射率椭球由其光学性质(主介电常数或主折射率)唯一地确定。,图 4 10 折射率椭球(光率体),2) 折射率椭球的性质 若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量k，再过坐标原点作一平面(称为中心截面)(k)与k垂直(图4 - 11)，(k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作ra(k)和rb(k)，则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质： 与波法线方向k相应的两个特许线偏振光的折射率n和n， 分别等于这个椭圆

31、的两个主轴的半轴长，即,(4.2-66),图 4 - 11 确定折射率和D振动方向的图示, 与波法线方向k相应的两个特许线偏振光D的振动方向d和d，分别平行于ra和rb， 即,(4.2-67),这里，d是D矢量方向上的单位矢量。 这样，只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以作出相应的折射率椭球，从而就可以通过上述的几何作图法定出与波法线矢量k相应的两个特许线偏振光的折射率和D的振动方向(图 4 - 11)。,现在证明上述结论。 由空间解析几何理论，与波法线k垂直的中心截面(k)上的椭圆，应满足下面两个方程：,(4.2-68),(4.2-69),由于椭圆的长半轴和短半轴是椭圆矢量的两个极

32、值，因而可以通过对满足上面两式的 求极值来确定ra(k)和rb(k)。为此，根据拉格朗日(Lagrange)待定系数法，引入两个乘数21和2， 构成一个函数：,于是，求解ra(k)和rb(k)的问题就变成了对F求极值的问题。而F取极值的必要条件是它对x1、x2、x3的一阶导数为零，即,(4.2-70),(4.2-71),将(4.2-71)式的三个式子分别乘以x1、x2、x3，然后相加，利用(4.2-68)式和(4.2-69)式关系，得,(4.2-72),再将(4.2-71)式的三个式子分别乘以k1、k2、k3，然后相加， 并再次利用(4.2-68)式关系， 得到,(4.2-73),将(4.2-

33、72)、(4.2-73)式得出的1和2关系代入(4.2-71)式，可得,i=1, 2, 3,(4.2-74),这三个方程就是与k垂直的椭圆截线矢径r为极值时所满足的条件，也就是椭圆两个主轴方向的矢径ra(k)和rb(k)所满足的条件。 将(4.2-74)式与(4.2-29)式进行比较可见，二式的差别只是符号不同。 如果我们进行如下的代换：,i=1, 2, 3,并注意到Di/0i=Ei， 则(4.2-74)式可以写成,i=1, 2, 3,(4.2-75),这组关系式就是晶体中与k相应的两个特许线偏振光的D矢量和折射率所遵从的关系(4.2-29)式。考虑到x1x2x3=D1D2D3和r=n，r的方

34、向就是满足(4.2-75)式的D方向，r的长度就是满足(4.2-75)式的n。 因此，就证明了在折射率椭球中，通过中心且与k垂直的椭圆截面两个主轴矢径ra(k)和rb(k)的方向, 就是相应于波法线矢量k的两个特许编振光D矢量的振动方向，两个半轴长|ra|和|rb|就是分别与这两个线偏振光相应的折射率。,通过上面的讨论可以看出，(4.2-65)式折射率椭球的物理意义是：它表征了晶体折射率(对应某一确定的光波长)在晶体空间的各个方向上全部取值分布的几何图形。椭球的三个半轴长分别等于三个主相对介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方向一致。通过椭球中心的每一个矢径方向，代表D的一个振动方向，其长度

35、为D在此方向振动的光波折射率，故矢径可表示为r=nd。 所以， 折射率椭球有时也称为(d, n)曲面。,3) 利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法 利用折射率椭球除了确定相应于k的两个特许线偏振光D矢量的振动方向和折射率外，还可以借助于下述几何方法，确定D、E、 k、s各矢量的方向。 如前所述，D、E、k、s矢量都与H矢量垂直，因而同处于一个平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆，如图4-12 所示。 如果相应于波法线方向k的一个电位移矢量D确定了，与该D平行的矢径端点为B，则椭球在B点的法线方向平行于与该D矢量相应的E矢量方向。现证明如下：,图 4 12 由给定的D确定E、k

36、、s方向图示,已知，曲面f(x1,x2,x3)=C上某点处的法线方向平行于函数f在该点处的梯度矢量f。由(4.2-64)式，折射率椭球方程可写成,所以，,i=1, 2, 3,若将xi=Din/D和i=Di/(0Ei)代入，上式变为,因而,这说明，与折射率椭球上某点所确定的D矢量相应的E矢量方向，平行于椭球在该点处的法线方向，也就是由坐标原点向过该点的切平面所作的垂线方向。 于是，给定了D矢量的方向，相应的E矢量方向可用几何方法作出：先过B点作椭圆的切线(或椭球的切平面)BT，再由O点向BT作垂线OR， 则OR的方向即是B点的法线方向，也就是与D相应的E的方向。另外，过O点作BT的平行线OQ，

37、则OQ的方向就是s的方向，而垂直于OB的方向(OJ)就是k的方向。这个几何作图法如图 4 - 12 所示。,4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质 (1) 各向同性介质或立方晶体 在各向同性介质或立方晶体中，主相对介电系数1=2=3，主折射率n1=n2=n3=n0，折射率椭球方程为,(4.2-76),这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是一个半径为n0的球。因此，不论k在什么方向，垂直于k的中心截面与球的交线均是半径为n0的圆，不存在特定的长、短轴，因而光学性质是各向同性的。,(2) 单轴晶体 在单轴晶体中，1=23，或n1=n2=no，n3=neno， 因此折射率椭球方程为,(4.2

38、-77),显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为x3轴。若neno，则称为正单轴晶体(如石英晶体)，折射率椭球是沿着x3轴拉长了的旋转椭球； 若ne no，则称为负单轴晶体(如方解石晶体)， 折射率椭球是沿着x3轴压扁了的旋转椭球。,设晶体内一平面光波的k与x3轴夹角为，则过椭球中心作垂直于k的平面(k)与椭球的交线必定是一个椭圆(图4-13)。其截线方程可用下述方法得到：由于旋转椭球的x1(x2)轴的任意性， 可以假设(k，x3)面为x2Ox3平面。若建立新的坐标系O-x1x2x3，使x3轴与k重合， x1轴与x1轴重合，则x2轴在x2Ox3平面内。这时，(k)截面即为x1O x2面，其方程为,(

39、4.2-78),新旧坐标系的变换关系为(图 4 - 14),图 4 - 13 单轴晶体折射率椭球作图法,图 4 - 14 两个坐标系的关系,将上面关系代入(4.2-77)式，再与(4.2-78)式联立， 就有,经过整理，可得出截线方程为,(4.2-79),其中,(4.2-80),或表示为,(4.2-81),下面讨论两种特殊情况： =0 时，k与x3轴重合，这时，ne=no，中心截面与椭球的截线方程为,这是一个半径为no的圆。可见，沿x3轴方向传播的光波折射率为no ， D矢量的振动方向除与x3轴垂直外，没有其它约束，即沿x3轴方向传播的光可以允许任意偏振方向，且折射率均为no，故x3轴为光轴。

40、因为这类晶体只有一个光轴，所以称为单轴晶体。,(4.2-82), =/2 时，k与x3轴垂直，这时，ne=ne, e光的D与x3轴平行。中心截面与椭球的截线方程为,(4.2-83),由于折射率椭球是旋转椭球，x1、x2坐标轴可任意选取，所以包含x3轴的中心截面都可选作x3Ox1平面(或x3Ox2平面)。对于正单轴晶体，e光有最大折射率；而对于负单轴晶体，e光有最小折射率。 运用图 4-12 所示的几何作图法，可以得到DE, ks。,(3) 双轴晶体 双轴晶体中的光轴。对于双轴晶体，介电张量的三个主介电系数不相等，即123，因而n1n2n3，所以折射率椭球方程为,(4.2-84),若约定n1n2

41、n3，则折射率椭球与x1Ox3平面的交线是椭圆(图4- 15)，它的方程为,(4.2-85),图 4-15 双轴晶体折射率椭球在x1Ox3面上的截线,式中，n1和n3分别是最短、最长的主半轴。若椭圆上任意一点的矢径r与x1轴的夹角为，长度为n， 则(4.2-85)式可以写成,或,(4.2-86),n的大小随着在n1和n3之间变化。由于n1 n2n3，因而总是可以找到某一矢径r0，其长度为n=n2。设这个r0矢径与x1轴的夹角为0，则0应满足,(4.2-87),所以,(4.2-88),显然，矢径r0与x2轴组成的平面与折射率椭球的截线是一个半径为n2的圆。若以0表示该圆截面，则与垂直于0面的波法

42、线方向k相应的D矢量在0面内振动，且振动方向没有限制，折射率均为n2。如果用C表示0面法线方向的单位矢量，则C的方向即是光轴方向。由于(4.2-88)式右边有正负两个值，相应的0面及其法向单位矢量C也有两个，因此，有两个光轴方向C1和C2， 这就是双轴晶体名称的由来。实际上，C1和C2对称地分布在x3轴两侧，如图4-16所示。由C1和C2构成的平面叫做光轴面，显然，光轴面就是x3Ox1平面。设C1、C2与x3轴的夹角为、-， 则,(4.2-89),当角小于 45时，称为正双轴晶体; 角大于45时，称为负双轴晶体。,图4-16 双轴晶体双光轴示意图, 光在双轴晶体中的传播特性。与单轴晶体一样，利

43、用双轴晶体的折射率椭球可以确定相应于k方向两束特许线偏振光的折射率和振动方向，只是具体计算比单轴晶体复杂得多。 下面只讨论几种特殊情况： (i)当k方向沿着主轴方向，比如x1轴时，相应的两个特许线偏振光的折射率分别为n2和n3, D矢量的振动方向分别沿x2轴和x3轴方向；当k沿x2轴时，相应的两个特许线偏振光的折射率分别为n1和n3，D矢量的振动方向分别沿x1轴和x3轴方向。,(ii) 当k方向沿着光轴方向时，二正交线偏振光的折射率为n2，其D矢量的振动方向没有限制。 (iii)当k在主截面内，但不包括上面两种情况时，二特许线偏振光的折射率不等，其中一个等于主折射率，另一个介于其余二主折射率之

44、间。 例如，k在x1Ox3主截面内，与x3轴的夹角为，确定与其相应的二特许线偏振光的折射率和D矢量振动方向。 根据折射率椭球的性质，考虑到k不在坐标轴上，为了简化运算, 可如图4-17所示，将坐标系Ox1x2x3绕x2轴旋转角，建立一个新坐标系Ox1x2x3，使k沿x3轴方向。此时二坐标系之间的关系为,图 4 - 17 坐标系的变换,(4.2-90),将上面关系代入折射率椭球方程， 并与x3=0 联立,可得与k垂直的截线方程为,(4.2-91),所以，与k相应的二特许线偏振光的折射率为,(4.2-92),D矢量的振动方向分别为x2、x1方向。,(iv)当k与折射率椭球的三个主轴既不平行又不垂直

45、时， 相应的两个折射率都不等于主折射率，其中一个介于n1, n2之间，另一个介于n2 , n3之间。如果用波法线与两个光轴的夹角1和2来表示波法线方向k(见图 4 - 9)，则可以利用折射率椭球的关系，得到与k相应的十分简单的二折射率表达式：,(4.2-93),(v) 已知两个光轴方向和k方向时，可以很方便地确定与k相应的D矢量的两个振动方向。如图 4-18 所示，给定k方向后，通过双轴晶体折射率椭球的中心作垂直于k的中心截面，则其截线椭圆的长、短轴方向就是与k相应的两个D矢量的振动方向d和d，其半轴长度就是相应的折射率n和n。设双轴晶体的光轴方向为C1和C2，垂直光轴的两个圆截面为0(1)和

46、0(2) ，这两个圆截面与面分别在r1和r2处相交，r1和r2有相等的长度，它们与椭圆的主轴有相等的夹角(参看图 4-18、4-19)，所以d和d方向必是r1和r2两个方向的等分角线的方向。但因r1垂直于C1和k，所以垂直于C1和k组成的平面；同样，r2垂直于C2和k组成的平面。设(C1, k)平面和(C2, k)平面与椭圆分别交于矢径r1和r2，则r1r1, r2r2。所以，椭圆的主轴也等分r1，r2方向。由此可以得到如下结论：D矢量的两个振动面(d, k)和(d, k)分别是(C1, k)和(C2, k)两个平面的内等分面和外等分面。,图 4-18 D矢量振动面的确定,图 4-19 图 4

47、 - 18 中的平面,最后应当指出，在双轴晶体中，除两个光轴方向外，沿其余方向传播的平面光波，在折射率椭球中心所作的垂直于k的平面与折射率椭球的截线都是椭圆。 而且， 由于折射率椭球没有旋转对称性，相应的两个正交线偏振光的折射率都与k的方向有关，因此这两个光都是非常光。故在双轴晶体中，不能采用o光与e光的称呼来区分这两种偏振光。,2. 折射率曲面和波矢曲面 折射率椭球可以确定与波法线方向k相应的两个特许线偏振光的折射率，但它需要通过一定的作图过程才能得到。为了更直接地表示出与每一个波法线方向k相应的两个折射率，人们引入了折射率曲面。折射率曲面上的矢径r=nk，其方向平行于给定的波法线方向k,

48、长度则等于与该k相应的两个波的折射率。因此，折射率曲面必定是一个双壳层的曲面，记作(k,n)曲面。 实际上，根据(k,n)曲面的意义，(4.2-31)式就是折射率曲面在主轴坐标系中的极坐标方程，现重写如下：,(4.2-94),若以 代入上式，即得到它的直角坐标方程：,(4.2-95),这是一个四次曲面方程。利用这个曲面可以很直观地得到与k相应的二折射率。,对于立方晶体， n1=n2=n3=n0， 代入(4.2-95)式得,(4.2-96),显然，这个折射率曲面是一个半径为n0的球面，在所有的k方向上，折射率都等于n0 ，在光学上是各向同性的。 对于单轴晶体，n1=n2=no, n3=ne，代入(4.2-95)式得,(4.2-97),或表示为,(4.2-98),可见，单轴晶体的折射率曲面是一个双层曲面，它是由一个半径为no的球面和一个以x3轴为旋转轴的旋转椭球构成的。球面对应为o光的折射率曲面，旋转椭球表示的是e光的折射率曲面。 单轴晶体的折射率曲面在主轴截面上的截线如图4-20所示：对于正