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一、欧氏空间的同构,9.3 同构,二、同构的基本性质,一、欧氏空间的同构,定义：,实数域R上欧氏空间V与V称为同构的，,如果由V到V有一个11对应 ，适合,这样的映射 称为欧氏空间V到V的同构映射.,1、若 是欧氏空间V到V的同构映射，则 也是,线性空间V到V同构映射.,2、如果 是有限维欧氏空间V到V的同构映射，,则,3、任一 维欧氏空间V必与 同构.,二、同构的基本性质,标准正交基，,证：,设V为 维欧氏空间， 为V的一组,在这组基下，V中每个向量 可表成,作对应,易证 是V到 的 对应.,且 满足同构定义中条件1）、2）、3），,故 为由V到 的同构映射，从而V与 同构.,反身性；对称性；传递性.,4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：, 单位变换 是欧氏空间V到自身的同构映射., 若欧氏空间V到V的同构映射是 ，则 是,其次，对 有,事实上， 首先是线性空间的同构映射.,欧氏空间V到V的同构映射.,为欧氏空间V到V的同构映射., 若 分别是欧氏空间V到V、V到V“的同构映射，,则 是欧氏空间V到V“的同构映射.,事实上，首先， 是线性空间V到V“的同构映射.,其次，对 有,为欧氏空间V到V“的同构映射.,5、两个有限维欧氏空间V与V同构,