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1、物理高考复习专题,石狮一中 陈龙法 2006年4月,有界磁场中带电粒子的运动,福建省物理学科带头人示范课,一、带电粒子在直边界磁场中的运动,例1. 如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右侧边界线，磁场中有一点O，O点到PQ的距离为r。现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。,1. 同源等速异向带电粒子在磁场中的运动,由于从O点向各个方向发射的带电粒子速度大小相同，在磁场中做匀速圆周运动的半径r相同，O为这些轨迹圆周的公共点。,在这个基础上再将边界线PQ复原就可以
2、得到带电粒子打在边界线上的范围。,注意:打到边界线上的最上边的点是大圆（虚线）与PQ的交点，打到最下面的点是小圆与PQ的切点。,实际上由于带电粒子都带负电，它们在纸面内都是做顺时针方向的匀速圆周运动，边界线右侧没有磁场，粒子穿出PQ线后已飞离磁场，边界右边的轨迹不可能存在，因此打到边界上的范围并不对称。,分析：带电粒子的运动受到磁场右侧边界的限制，打在PQ上的范围不易确定。,假设磁场没有边界PQ,带电粒子能运动到的范围是以O点为圆心，2r为半径的大圆(虚线) 。,例2. 如图所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d=1.010-2m，A板上有一电子源P，Q点为P点正上方B板上的一点
3、，在纸面内从P点向Q点发射速度在03.2107m/s范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B=9.110-3T，已知电子的质量m=9.110-31kg ，电子的电量q=1.610-19C ，不计电子的重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围。,2. 同源异速同向带电粒子在匀强磁场中的运动,分析：本题中电子的速度方向相同，速度大小不同。,只需画出半径分别是d和2d的两个特殊圆，所求范围即可求得。,假设电子在无界匀强磁场中运动,根据左手定则可以判断：沿PQ方向以大小不同的速度射出的电子均做顺时针方向的匀速圆周运动，这些半径不等的圆均相
4、内切于点P，并与PQ相切，它们的圆心都在过P点的水平直线上。,设电子运动的最大轨迹半径为rm,因 qvB=mv2/rm,代入数据得 rm=2d,在此基础上再加上直线BQ，AP与BQ相当于磁场的两条边界线,代入数据得,故电子击中A板P点右侧与P点相距0210-2m的范围，即PH段,击中B板Q点右侧与Q点相距2.68 10-3 m1.010-2m的范围，即MN段。,速度更大的电子打到B板上的点在N点的左侧，设速度最大的电子打在图中大圆与B板相交的位置M，这样电子打在B板上的范围是MN段。由图根据几何关系，有,电子速度大小不同，其运动半径也不同。轨迹半径rd的电子运动半个圆后打到A板上；当电子的运动
5、半径r=d（即图中的小圆）时，轨迹圆正好与B板相切，切点为N，这是电子打到B板上的临界点；运动半径大于d的电子将被B板挡住，不再打到A板上。故PNH所在的圆是电子打到A板上最远点所对应的圆，这样电子打在A板上的范围应是PH段。,求解带电粒子在有界磁场中的运动范围问题，可以假设磁场无限大，把有界磁场变成无界磁场，画出带电粒子的可能运动轨迹，确定带电粒子的运动范围后，根据题设要求再补画边界线，就可以得到所求的范围。 带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键,小结 ,最基本的思路圆心一定在与速度方向垂直的直线上,(1)已知入射方向和出射方向时，可通过入
6、射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心,(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心,两圆相交，在两交点上同一圆的两条切线AC和BC如果相交，则一定交于两圆心连线OO的同一点C。,二、带电粒子在圆形磁场中的运动,带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周运动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。,小结： 圆形磁场区域，具有对称性特点：,分析两圆的关系，得出粒子的出射方向,粒子沿圆心射入，,则一定沿圆心射出。,例3
7、. 如图，半径为r=310-2m的圆形区域内，有一匀强磁场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力则：（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与oa的夹角表示）？最大偏转角多大？,半径确定时，通过的弧越长，偏转角度越大。 而弧小于半个圆周时，弦越长则弧越长。,思考：若Rr，最大偏角是多少？什么时候偏角最大？,例4. 如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量为m，带电量为q的带电粒子在小孔A处以速度v向着圆心射入，问磁感强度为多大，此粒子才
8、能从原孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时电量和动能皆无损失）,解析带电粒子从小孔A射入后，由于洛仑兹力的作用，它将沿圆弧线运动，并将与筒壁碰撞，然后以不变速率反弹回来。根据对称性可以看出粒子与筒壁碰撞时其速度方向一定是沿圆筒半径方向的。粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能出现3次、4次、5次n次碰撞。,若粒子经两次碰撞后从A孔射出，设粒子轨道半径为r1，则：,若粒子经3次碰撞后从A孔射出，则粒子轨道半径,若经n次碰撞后从A射出，则：,因为粒子只受洛仑兹力作用做匀速圆周运动, qvB=mv2/rn rn=mv/qB,所以,思考：粒子做上述运动所需最短时间是多少？,无论经过多少次碰撞
9、，因粒子最终从原孔返回，故粒子在磁场中的各段轨迹圆弧对应的圆心角的总和一定是3600,思考？上述解答是基于粒子在筒壁内绕筒壁一周经n次碰撞射出的情况，若粒子在筒壁内绕筒壁一周不能射出呢？,（1）设带电粒子在圆筒内绕筒壁k周、与筒壁经n次连续碰撞后仍能从A孔射出，则每连续相邻两次碰撞点所对应的圆心角为 =2k/(n+1),带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹为(n+1)段圆弧，其轨迹半径为r，由牛顿第二定律qvB=mv2/rn rn=mv/qB,设其圆心为O，连OA，OC，如图所示，在直角三角形OAO中,由以上三式联立解之得,依题意，,所以与k相对应的n的取值范围为n2k-1的正整数。,（
10、2）如图所示，AOC=,而+=，有,所以带电粒子在磁场中运动的时间为,将B代入后可得,式中k为大于零的正整数，与k相对应的n取大于(2k-1)的一系列正整数。,三、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动,例5、如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度大小均为B。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求： （1）中间磁场区域
11、的宽度d; （2）带电粒子的运动周期.,带电粒子运动过程分析,O1,O2,O3,下面请你完成本题解答,由以上两式，可得,（2）在电场中运动时间,在中间磁场中运动时间,在右侧磁场中运动时间,则粒子的运动周期为,带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：,解：（1）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：,粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形O1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为：,拓展,例6、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示现加一垂直于xoy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要
12、求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大 (不考虑电子间的相互作用) ?,所有电子的轨迹圆半径相等，且均过O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆心，半径为r的且位于第象限的四分之一圆周上，如图所示。,即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然，磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何关系得,【解析】电子由O点射入第象限做匀速圆周运动,沿y轴正向发射的电子，轨迹如图中实线1所示，圆心在x轴上O1点； 圆心在O1On弧上的各点，其相应的运动轨迹均在第象限内，如图中2、3、4等实线所示； 分别过O1、O2、O3、O4等圆
13、心作与y轴平行的直线(如图中虚线所示)与相应实线分别交于a、b、c、d等点，过这些点做平行于x轴的直线，则为各相应电子平行于x轴的运动方向。,由图可知，a、b、c、d等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程,本题还可以用下述方法求出下边界.设P(x,y)为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与x轴夹角为 ，则由图可知： x=rsin y=r-rcos 得: x2+(y-r)2=r2 所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0,r)的圆弧应是磁场区域的下边界；圆O2的y轴正方向的半个圆应是磁场的上边界，两边界之间图形的面积即为所求。 图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积,数学方法与物理
14、知识相结合 解决物理问题的一种有效途径,试解一道IPHO题,质量均为m的一簇粒子在P点以同一速度v向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场B将这些粒子聚焦于R点，距离PR=2a，离子的轨迹应是轴对称的。试确定磁场区域的边界。(第8届IPHO试题，1975),解答：在磁场B中，粒子受洛仑兹力作用作半径为r的圆周运动,质量为m的所有粒子进入磁场中都在半径均为r的各自圆轨迹上运动，离开磁场后，所有粒子都打在同一点R 。,设半径为r的圆轨道上运动的粒子，在坐标为（x，y）的A点离开磁场，沿切线飞向R点。由相似三角形得到,同时，A作为轨迹圆上的点，应满足圆的轨迹方程,消去(y-b)，得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程为,作业： 讲义课后练习19,