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1、有限自由度稳定问题计算,重 点：稳定自由度数目 静力法、能量法 等效为单个压杆 难 点：等效为单个压杆 稳定方程的建立,一、自由度的确定,决定一个体系变形形式的独立位移参数（或称坐标）的数目称为体系的自由度。稳定问题中的体系变形形式是指：临界状态的一个新的平衡形式（失稳时的形式），它满足边界条件。,2. 基本假定：,1. 自由度的概念,1）受弯曲杆件不计轴向变形,2）受弯曲杆件发生侧移的方向垂直于杆轴,AB杆受压，它的失稳只能是AB杆的转角（或B点的水平位移）发生。故为 1 个自由度。,AB、BC两杆受压，失稳时AB、BC各自有独立的转角（或A点，C点的独立竖向位移）故为2 个自由度,AB、B
2、C、CD三杆受压，它们各自有独立的转角，故为3 个自由度,二、稳定计算的方法-临界力Plj与失稳模态的画法,1静力法,分析n个自由度体系时，可对新的变形状态建立n个平衡方程，是关于n个独力位移参数的齐次方程。当有非零解时（产生失稳时，即n个新位移不全为零），其系数行列式称为稳定方程，它有n个实根；即n个特征值，其中最小者即为临界荷，其对应的特征向量即为失稳模态。,2能量法,先设定一个可能的失稳变形模态，用n个位移参数！，2，n表达出应变势能U和荷载势能V的变化。,设，= U+V ，按势能驻值原理,由 ， ， 的任意性，必有：,此为齐次方程组，有非零解的条件是其系数行列式,同样， 称为稳定方程，
3、它有n个实根；即n个特征值，其中最小者即为临界荷载，第i个特征值对应的特征向量即为位移模态。,例1求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。,解：1）两个自由度体系，以B、C两点的竖向位移为参数 画出失稳模态,静力法,2）取BC为研究对象，建立平衡方程,MB=0， 2LKN y2+P（y1-y2）=0,即，P y1+（2L KN- P）y2=0 -（1）,取AB为研究对象, MB=0， VAL - HA y1= 0,（KNL - 2P）y1 + KNL y2 = 0 -（2）,3）发生失稳时，y1 ，y2 不全为零，所以（1）、（2）两式的系数行列式为零,-稳定方程,注意: 较大者情况出现必须人
4、为安排，否则不会发生,4）失稳模态,1.0,0.236,能量法,弹簧的变形势能,力功势能变化,以下求解BC和AB,由图（a）的几何关系,同理，由图（b）可得,按势能驻值原理,系数行列式D=0 ，得稳定方程,此方程与静力法得到的一致,例2求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。,解：1）两个自由度，B、C两处的水平位移 与,2）由于CF、BE杆的EA=，所以E、F两处的水平位移也是 与,由于DEF杆的作用就是限制B、C两点的侧移，因此，原题可等价为图（b）所示结构的失稳。,3）当yB，yC发生时各自产生的约束力RB与RC,剩下的问题如图（b）所示，其解答过程同例题1,EA不是无穷大，怎么计算？,
5、反求得：RB，RC,例3求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。,解：1)一个自由度，B点的水平位移y（或AB杆的弦转角）,2）求临界荷载,失稳模态,AB杆上端无水平约束，失稳时， BC，BD杆的作用对AB杆起到力偶的作用,KM与KN的等效转换,例4把下列结构等效为单个压杆的稳定问题。,解：1. 1个自由度，BE杆的B端侧移,2. B点的侧移受到2个因素的约束,1）AD杆的水平约束（AD杆侧移后A端剪力）,2）BE杆的B 端剪力（B点侧移造成的）,或 B端的弯矩约束,或,EA不是无穷大，怎么计算？,例5把下列结构等效为单个压杆的稳定问题。,解：1） 1个自由度，B点的侧移,2）BCD对AB的作用是限制侧移,3） 确定侧移刚度 KN,用位移法计算B点的侧移刚度。,位移法方程：7i-6i/L=0,临界荷载的确定,MA=0,例6把下列结构等效为单个压杆的稳定问题,解： 1个自由度，B点侧移时：AE杆对A点有转动约束； BCD部分起水平力约束作用,等效为单个压杆问题如图,求刚度系数KM，KN,1. EA=时,2. EA为有限时,用柔度法，求P=1作用B点产生的位移,稳定方程，临界荷载,MA=0,A,