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1、第11章 期权定价的数值方法,目录,二叉树期权定价模型 蒙特卡罗模拟 有限差分方法（略）,2,2,2,单步二叉树模型,证券价格的树形结构,参数的确定,在风险中性世界里： 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； 未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。 参数 p 、 u 、 d 须满足,参数的确定 (cont.),由以上条件可得： 期权价格为,二叉树图的结点,在 的情况下，节点会重合。在 时刻，证券价格有i + 1 种可能，一般表达式为 其中j = 0,1, .i 如果假设p = 0.5 ，则二叉树图中心线上的标的资产价格不再和中心值相等，但概率始终不变。,倒推定价法,倒推定价法：从树型结构
2、图的末端 T 时刻开始往回倒推，为期权定价。 欧式期权：将 T 时刻期权价值的预期值在 t 时间长度内以无风险利率 r 贴现求出每一结点上的期权价值。 美式期权：在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有 t 时间到下一个时刻再执行期权的价值，选择较大者作为本结点的期权价值。,案例 1 ：美式看跌期权的二叉树定价,假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价为 50 元,波动率为每年 40% ，无风险连续复利年利率为 10% ，该股票 5 个月期的美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权的价值。,案例 1 ：美式看跌期权的二叉树定价 (cont.),为了构造二叉树，我们把期权
3、有效期分为五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可以算出,案例 1 ：美式看跌期权的二叉树定价 (cont.),二叉树定价的一般过程：以美式看跌期权为例,把期权有效期划分为 N 个长度为 t 的小区间 和 分别为节点 (i, j) 处的标的资产价格与期权价值： 其中j=0,1,2,N 当时间区间划分趋于无穷大，可以求出美式看跌期权的准确价值。 一般将时间区间分成 30 步就可得到较为理想的结果。,有红利资产期权的定价：支付连续红利率q,在风险中性条件下，标的资产价格的增长率应该为 ，因此期权定价公式式变为： 相应有 下式仍然成立：,p = 0.5 的二叉树图,在确定参数 u ， p ，
4、d 时不再假设 ，而令 p = 0.5 ，可得： 该方法优点在于无论 t 和 如何变化，概率总是不变的。,蒙特卡罗模拟,随机路径,在风险中性世界中，为了模拟路径 我们把期权的有效期分为 N 个长度为 t 的时间段，则上式的近似方程为： 或,随机路径 (cont.),其中 S(t) 代表 t 时刻 S 的价值, 是从标准正态分布中抽取的一个随机样本。 通过 N 个正态分布的随机抽样就可以组建一条资产价格的蒙特卡罗模拟样本路径，并得到相应的回报值。 重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，贴现后就得到了期权的期望值和估计的标准差。,随机路径 (cont.),用 ln S 比 S 准确。
5、用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回报只与期权到期时刻的股票价格有关，可以让 t + t = T 并直接利用公式 ln S 的随机过程来求 T 时刻的股票价格。,案例 2 ：蒙特卡罗模拟的路径模拟,假设无红利的股票价格服从式(12.6 )，年预期收益率 r = 14% ，收益波动率为 = 20% ，时间步长为 t = 0.01 年，则根据式(12.8 )有 假设股票价格的初始值为 20 ， 的第一个样本值为 0.52 ，则第一个步长结束后， 第二步开始时的股票价格上升为 20.236 ，这次抽到的 为 1.44 ，因此,案例 2 ：蒙特卡罗模拟的路径模拟（ Cont. ）,下表给出了案例
6、 2 中模拟的路径：,请大家思考：如何通过编程获得这个表？,模拟运算次数的确定,如果对估计值要求 95% 的置信度，则期权价值应满足 其中， M 为进行运算的次数， 为均值， 为标准差。,主要优点和主要缺点,主要优点： 应用简单，无需深刻理解定价模型 适用情形广泛 欧式衍生产品 回报路径依赖 回报取决于多个标的资产 主要缺点： 难以处理提前执行的情形 为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算,差分法的主要思想,用离散算子逼近 各项，将衍生证券所满足的偏微分方程 转化为一系列近似的差分方程，用迭代法求解，得到期权价值。 在坐标图上，有限差分方法体现为(Grids ),练习,Hull, page 258 11.16, 11.17, 11.20,11.21，11.22 要求：答案和结果可用A4纸直接上交。,