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1、第一章 矩阵代数,1.1 定义 1.2 矩阵的运算 1.3 行列式 1.4 矩阵的逆 1.5 矩阵的秩 1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹 1.7 正定矩阵和非负定矩阵 1.8 特征值的极值问题,1.1 定义,pq矩阵：,p维列向量：,q维行向量： a=(a1,a2,aq),向量a的长度：,单位向量：,若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。 若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。 若方阵A的对角线下方的元素全为零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。 若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A
2、为下三角矩阵。显然，aij=0,ij。 若方阵A的所有非对角线元素均为零，则称A为对角矩阵，简记为A=diag(a11,a22,app)。 若p阶对角矩阵A的所有p个对角线元素均为1，则称A为p阶单位矩阵，记作A=Ip或A=I。,若将矩阵A的行与列互换，则得到的矩阵称为A的转置，记作A，即 若方阵A满足A=A，则称A为对称矩阵。显然，aij=aji。,1.2 矩阵的运算,若A=(aij)：pq，B=(bij)：pq,则A与B的和定义为 A+B=(aij+bij)：pq 若c为一常数，则它与A的积定义为 cA=(caij)：pq 若A=(aij)：pq，B=(bij)：qr,则A与B的积定义为,
3、运算规律,(1)(A+B)=A+B。 (2)(AB)=BA。 (3)A(B1+B2)=AB1+AB2。 (4) 。 (5)c(A+B)=cA+cB。,若两个p维向量a和b满足 ab=a1b1+a2b2+apbp=0 则称a和b正交。几何上，正交向量之间相互垂直。 若方阵A满足AA=I，则称A为正交矩阵。显然， ， i=1,2,p，即A的p个行向量为单位向量； ，即A的p个行向量相互正交。又从AA=I得： (jk)，即A的p个列向量也是一组正交单位向量。 若方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。 对称的幂等矩阵称为投影矩阵。,正交矩阵A的几何意义,将p维向量x看作是在Rp中的一个点，则x的各分量
4、是该点在相应各坐标轴上的坐标。正交阵A的行列式非1即1。若|A|=1，则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转(或称正交旋转)，y的各分量正是该点在新坐标系下的坐标；若|A|=1，则包含了一个反射的坐标轴。 当p=2时，按逆时针方向将直角坐标系x1Ox2旋转一个角度，所得新坐标系y1Oy2与原坐标系之间的变换为 当p=3时同样有着直观的几何展示。 由于 yy=(Ax)(Ax)=xAAx=xx 故在新、旧坐标系下，该点到原点的距离保持不变。,矩阵的分块,设A=(aij)：pq,将它分成四块，表示成 其中A11：kl，A12：k(ql)，A21：(pk)l， A22：(pk)(ql)。
5、若A和B有相同的分块，则,若C为qr矩阵，分成 其中C11：lm，C12：l(rm)，C21：(ql)m，C22：(ql)(rm)，则有,例1.2.2 用矩阵分块方法证明正交矩阵A：pp的p个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量。 证明 将矩阵A分别按列向量和行向量分块，并记 由AA=I，得,于是 故有 即a1,a2,ap为一组正交单位向量。同理，由AA=I可证a(1),a(2),a(p)也是一组正交单位向量。,1.3 行列式,p阶方阵A=(aij)的行列式定义为 这里 表示对1,2,p的所有排列求和，(j1j2jp) 是排列j1,j2,jp中逆序的总数，称它为这个排列的逆序数，一个逆序是指
6、在一个排列中一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数。例如，(3142)=1+(1342)=3+(1234)=3。,行列式的一些基本性质,(1)若A的某行(或列)为零，则|A|=0。 (2)|A|=|A|。 (3)若将A的某一行(或列)乘以常数c，则所得矩阵的行列式为c|A|。 (4)若A是一个p阶方阵，c为一常数，则|cA|=cp|A|。 (5)若互换A的任意两行(或列)，则行列式符号改变。 (6)若A的某两行(或列)相同，则行列式为零。 (7)若将A的某一行(或列)的倍数加到另一行(或列)，则所得行列式不变。 (8)若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的线性组合，则行列式
7、为零。,(9)若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则 (10)若A和B均为p阶方阵，则|AB|=|A|B|。 (11)|AA|0。 (12)若A与B都是方阵，则 (13)若A：pq，B：qp，则 |Ip+AB|=|Iq+BA| 例1.3.3 设x,y为两个p维向量，则 |Ip+xy|=1+yx,代数余子式,设A为p阶方阵，将其元素aij所在的第i行与第j列划去之后所得(p1)阶矩阵的行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij。Aij=(1)i+jMij称为元素aij的代数余子式。有以下公式成立,1.4 矩阵的逆,若方阵A满足|A|0，则称A为非退化方阵；若 |A|=0，则称A为退化方阵。
8、设A=(aij)是一非退化方阵，若方阵C满足AC=I，则称C为A的逆矩阵，记为C=A1，A1必是一个非退化矩阵。令 B=(Aij)/|A| 其中Aij是aij的代数余子式，则容易验证AB=BA=I。由于C=BAC=B，因此A1是惟一的，且(A1)1=A。,逆矩阵的基本性质,(1)AA1=A1A=I。 (2)(A)1=(A1)。 (3)若A和C均为p阶非退化方阵，则 (AC)1=C1A1 (4)|A1|=|A|1。 (5)若A是正交矩阵，则A1=A。 (6)若A=diag(a11,a22,app)非退化(即aii0，i=1,2,p)，则 (7)若A和B为非退化方阵，则,1.5 矩阵的秩,一组同维
9、向量a1,a2,an，若存在不全为零的常数c1,c2,cn，使得 c1a1+c2a2+cnan=0 则称该组向量线性相关。若向量a1,a2,an不线性相关，就称为线性无关。 矩阵A的线性无关行向量的最大数目称为行秩，其线性无关列向量的最大数目称为列秩。矩阵的行秩和列秩必相等，故统一将其称为A的秩，记作rank(A)。,矩阵秩的基本性质,(1)rank(A)=0，当且仅当A=0。 (2)若A为pq矩阵, 且A0，则1rank(A)minp,q(若rank(A) =p,则称A为行满秩的；若rank(A)=q,则称A为列满秩的)。 (3)rank(A)=rank(A)。 (4) 。 (5)rank(
10、AB)minrank(A),rank(B)。 (6)若A和C为非退化方阵，则 rank(ABC)=rank(B) (7)p阶方阵A是非退化的，当且仅当rank(A)=p(称作A满秩)。 (8)rank(AA)=rank(AA)=rank(A)。,1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹,一、特征值和特征向量 二、矩阵的迹,一、特征值和特征向量,设A是p阶方阵，若对于一个数，存在一个p维非零向量x，使得Ax=x，则称为A的一个特征值或特征根，而称x为A的属于特征值的一个特征向量。 依该定义有，(AI)x=0，而x0，故必有 |AI|=0 |AI|是的p次多项式，称为特征多项式。上式有p个根 (可能有重
11、根)，记作1,2,p，它们可能为实数，也可能为复数(虽然A是实数矩阵)。反过来，若i是上式的一个根，则AiI为退化矩阵，故存在一个p维非零向量xi，使得 (AiI)xi=0 即i是A的一个特征值，而xi是相应的特征向量。 今后，一般取xi为单位向量，即满足xixi=1。,特征值和特征向量的基本性质,(1)A和A有相同的特征值。 (2)若A和B分别是pq和qp矩阵，则AB和BA有相同的非零特征值。 (3)若A为实对称矩阵，则A的特征值全为实数，p个特征值按大小依次表示为12p。若ij，则相应的特征向量xi和xj必正交，即xixj=0。 (4)若A=diag(a11,a22,app)，则a11,a
12、22,app为A的p个特征值，相应的特征向量分别为e1=(1,0,0)，e2=(0,1,0,0)，ep=(0,0,1)。 (5) ，即A的行列式等于其特征值的乘积。可见，A 为非退化矩阵，当且仅当A的特征值均不为零；A为退化矩阵，当且仅当A至少有一个特征值为零。,例1.6.4 设方阵A：pp的p个特征值为1,2,p，试证： (i)若A可逆，相应于1,2,p的特征向量分别为x1,x2,xp，则A1的p个特征值为 ，相应的特征向量仍为x1,x2,xp； (ii)若A为幂等矩阵，则A的特征值为0或1； (iii)若A为正交矩阵，则A的特征值为1或1。 (6)若A为p阶对称矩阵，则存在正交矩阵T及对角
13、矩阵=diag(1,2,p)，使得 A=TT 上式两边右乘T，得 AT=T 将T按列向量分块，并记作T=(t1,t2,tp)，于是有 (At1,At2,Atp)=(1t1,2t2,ptp),故 Ati=iti，i=1,2,p 这表明1,2,p是A的p个特征值，而t1,t2,tp为相应的(一组正交单位)特征向量。 称之为A的谱分解。 (7)若A为pq实数矩阵，则存在p阶正交矩阵U和q阶正交矩阵V，使得 A=UV 其中的(i,i)元素i0，i=1,2,min(p,q)，其他元素均为零。正数i称为A的奇异值，上述分解式称为奇异值分解。,设rank(A)=k ，则矩阵中只有k个正数，记为1,2,k。将
14、正交矩阵U和V按列分块有，U=(u1,u2,up) ，V=(v1,v2,vq) ，令U1=(u1,u2,uk) ，V1=(v1,v2,vk) ，1=diag(1,2,k),则得到奇异值分解的另一表达式： 这里u1,u2,uk是一组p维正交单位向量，v1,v2,vk是一组q维正交单位向量，即有U1U1=V1V1=I。 由A=UV知，AA=U2U，AA=V2V ，于是 AAui=i2ui，i=1,2,p AAvi=i2vi，i=1,2,q 即 是AA 的p个特征值，u1,u2,up 是相应的特征向量； 是AA 的q个特征值，v1,v2,vq 是相应的特征向量。,二、矩阵的迹,设A为p阶方阵，则它的
15、对角线元素之和称为A的迹，记作tr(A)，即 tr(A)=a11+a22+app 方阵的迹具有下述基本性质： (1)tr(AB)=tr(BA)。特别地，tr(ab)=ba。 (2)tr(A)=tr(A)。 (3)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)。 (4) 。,(5)设A=(aij)为pq矩阵，则 (6)设1,2,p为方阵A的特征值，则 tr(A)=1+2+p (7)若A为投影矩阵，则 tr(A)=rank(A),1.7 正定矩阵和非负定矩阵,设A是p阶对称矩阵，x是一p维向量，则xAx称为A的二次型。若对一切x0，有xAx0，则称A为正定矩阵，记作A0；若对一切x，有xAx0，则称A为非
16、负定矩阵，记作A0。对非负定矩阵A和B，AB表示AB0；AB表示AB0。,正定矩阵和非负定矩阵的基本性质,(1)设A是对称矩阵，则A是正定(或非负定)矩阵，当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)。 (2)设A0，则A的秩等于A的正特征值个数。 (3)若A0，则A10。 (4)设A0，则A0，当且仅当|A|0。 (5)若A0(或0)，则|A|0(或0)。 (6)BB0，对一切矩阵B成立。 (7)若A0(或0)，则存在 0(或0)，使得 称为A的平方根矩阵。 (8)设A0是p阶秩为r的矩阵，则存在一个秩为r(即列满秩)的pr矩阵B，使得A=BB。,1.8 特征值的极值问题,(1)若A是p阶对称矩阵，其特征值依次为12p，则 (2)若A是p阶对称矩阵，B是p阶正定矩阵，12p是B1A的p个特征值，则 (3)柯西许瓦兹不等式(CauchySchwarz) 若B0，则 (xy)2(xBx)(yB1y),